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Aide pour un devoir de maths S1 MIAS

Posté par (invité) 18-10-03 à 23:09

exo 2
Soit n appartenant à N*, montrer que pour tt k appartenant à N
(n+1)^k supérieur ou égal à n^k+ kn^(k-1)

J'ai fait une récurrence avec P(k) mais j'obtiens à la fin :
(n+1)^(k+1) supérieur ou égal à n^(k+1)+(k+1)n^k+kn^(k-1)
ce qui ne correspond pas à P(k+1)!

Posté par Ghostux (invité)re : Aide pour un devoir de maths S1 MIAS 18-10-03 à 23:58

   Bon voila ce que j'ai fait :
Pour n€N*
on veut demontrer que  

(n+1)^k >= n^k+ kn^(k-1)  pour tout k€N.

pour k , on a:
(n+1)^k >= n^k+ kn^(k-1)
pour k+1, on doit avoir :
(n+1)^(k+1) >= n^(k+1) + (k+1)n^k
... ...

pour n =2 , k=2
(3)^2 = (n+1)^k = 9
n^k+ kn^(k-1) = 2^2 + 2*2^(1)  =4 +4 = 8
9 > 8 , donc  
(n+1)^k >= n^k+ kn^(k-1)  pour un certain rang.
(n+1)^k * (n+1) > (n+1)(n^k) + (n+1)(kn^(k-1))
       (n+1)^(k+1)> n^(k+1) + n^k + kn^k + kn^(k-1)
       --                 - > n^(k+1) + (k+1)n^k + kn^(k-1)
  Tu sais que   n^(k+1) > 0 car n et k € N(*)
                       (k+1)n^k > 0 --         --
                       n^(k+1) + (k+1)n^k  > 0
                       kn^(k-1) >   0
                                      
Donc pour (n+1)^(k+1)> n^(k+1) + n^k + kn^k + kn^(k-1)
  on a forcement:
                  (n+1)^(k+1)> n^(k+1) + n^k + kn^k      
                                          
        Soit a b c trois nombres, € N . Si a > b +c , a>b et a > c
.

Voila.

Ghostux
                  

Posté par Ghostux (invité)re : Aide pour un devoir de maths S1 MIAS 19-10-03 à 11:34

Ah désolé, la fin n'etait pas tres explicite, il va sans dire
que
     (n+1)^(k+1)> n^(k+1) + n^k + kn^k
                            > n^(k+1) + (k+1)n^k
       Si
           (n+1)^k > n^k + kn^(k-1)
                         et
   (n+1)^(k+1) > n^(k+1) + (k+1)n^k

    Alors (n+1)^k > n^k + kn^(k-1) est vrai pour tout k de N.


Ghostux



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