exo 2
Soit n appartenant à N*, montrer que pour tt k appartenant à N
(n+1)^k supérieur ou égal à n^k+ kn^(k-1)
J'ai fait une récurrence avec P(k) mais j'obtiens à la fin :
(n+1)^(k+1) supérieur ou égal à n^(k+1)+(k+1)n^k+kn^(k-1)
ce qui ne correspond pas à P(k+1)!
Bon voila ce que j'ai fait :
Pour n€N*
on veut demontrer que
(n+1)^k >= n^k+ kn^(k-1) pour tout k€N.
pour k , on a:
(n+1)^k >= n^k+ kn^(k-1)
pour k+1, on doit avoir :
(n+1)^(k+1) >= n^(k+1) + (k+1)n^k
... ...
pour n =2 , k=2
(3)^2 = (n+1)^k = 9
n^k+ kn^(k-1) = 2^2 + 2*2^(1) =4 +4 = 8
9 > 8 , donc
(n+1)^k >= n^k+ kn^(k-1) pour un certain rang.
(n+1)^k * (n+1) > (n+1)(n^k) + (n+1)(kn^(k-1))
(n+1)^(k+1)> n^(k+1) + n^k + kn^k + kn^(k-1)
-- - > n^(k+1) + (k+1)n^k + kn^(k-1)
Tu sais que n^(k+1) > 0 car n et k € N(*)
(k+1)n^k > 0 -- --
n^(k+1) + (k+1)n^k > 0
kn^(k-1) > 0
Donc pour (n+1)^(k+1)> n^(k+1) + n^k + kn^k + kn^(k-1)
on a forcement:
(n+1)^(k+1)> n^(k+1) + n^k + kn^k
Soit a b c trois nombres, € N . Si a > b +c , a>b et a > c
.
Voila.
Ghostux
Ah désolé, la fin n'etait pas tres explicite, il va sans dire
que
(n+1)^(k+1)> n^(k+1) + n^k + kn^k
> n^(k+1) + (k+1)n^k
Si
(n+1)^k > n^k + kn^(k-1)
et
(n+1)^(k+1) > n^(k+1) + (k+1)n^k
Alors (n+1)^k > n^k + kn^(k-1) est vrai pour tout k de N.
Ghostux
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