Bonsoir didix

Posons d'abord .

Par hypothèse, tend vers l.
Or l>1, donc il existe un réel b qui vérifie l'inégalité 1 < b < l

Par définition de la limite, il existe un entier n₀ tel que pour tout entier n supérieur à n₀, a_nb.


Soit maintenant un entier supérieur à n₀.

On a donc a^n-1*a_n-2* ...* a_n[sub]0[/sub]b^n-n₀+1

Or il est assez facile de voir que le produit de gauche est égal à

donc pour tout n>n₀ , on a u_nu_n[sub]0[/sub]*b^n-n₀+1
Or est le terme général d'une suite géométrique de raison b>1, donc qui tend vers +, donc (u_n) aussi.

Voilà

Kaiser

Réponse à la deuxieme partie de ton exercice :

Raisonnement par l'absurde : supponsons que la suite ne soit pas nulle à partir d'un certain rang.

Alors on a v(n)0 pour tout n (car si on a un v(n0)=0 alors v(n)=0 pour tout nn0)

De plus on a toujours v(n)>0 car si on a un v(n) négatif la suite est clairement divergente (et on a supposé qu'elle tend vers 0) : on a donc u(n)=v(n) (c une idiotie de l'énoncé que de nous dire de passer par u(n))


donc v(n+1)/v(n) = 4-v(n) (note l'importance d'avoir v(n)0)

v(n)0 donc v(n+1)/v(n) 4

donc d'après la 1ère question on a v(n) ABSURDE

donc v(n) nulle a partir d'un certain rang.



après tu as v(1)=4sin² (4-4sin²) = 16(sin*cos)²=16*(sin(2) / 2 )² = 4 sin²(2)

la récurence est évidente, on obtient v(n) = 4 sin²(2ⁿ)

Après la CNS ( je suppose que c'est ce que tu voulais dire parce que CNC :s )

Déjà on a 0v(0)4 sinon la suite v(n) diverge

v(n) tend vers 0 si elle est nulle à partir d'un certain rang

on a v(0) variant entre 0 et 4, donc on peut peut poser = arcsin racine (v(o)/4).

et v(n) = 4 sin²(2ⁿ)

donc v(n) tend vers 0 ssi il existe un n tq alpha = k* / 2ⁿ
tu en déduis la CNS sur v0

voila,
tobi

merci beaucoup kaiser et tobi pour votre aide !
eu la CNS etait sur alpha alors j'ai proposé alpha de la forme : k pi / (2^n) avec n fixé.
par contre après je comprends pas ce qu'ils demandede donner une (ou de valeur(s) de alfa pour que v(2n ) et v(2n+1) copnvergent vers des limites distinctes à préciser... que dois je faire? ils faut ensuite 4 limites convergents différentes puis 8 puis 2^p ... que veulent-ils dire par là?
pour deux limites si je choisis alfa = kpi/2
alors v(2n) ten vers 0 et v(2n+1) tend vers 1 non? eu remarque .. le v(2n+1) ... bof... mais pour 4 et 2^p valeurs... je n'y comprends rien ? si vous aviez encore la patience d'aider une pauvre non matheuse en détresse, je vous en serai très reconnaissante. Merci d'avnace pour votre aide!

Si u(n+1)/u(n) tend vers L>1, alors à partir d'un certain temps, ta suite Vn définie comme le rapport précédent est plus grand que 1, et donc ta suite est croissante.
Si elle était convergente elle serait bornée (et réciproquement), et on aurait que le rapport tend vers 1, ce qui n'est pas le cas.

A+

"pour deux limites si je choisis alfa = kpi/2"

-> si tu choisis cet alfa la d'après la CNS vu au dessus ta suite est nulle pour tout n>0 donc non.
(pour la CNS ta suite tend vers 0 SSI elle est nulle à partir d'un certain rang SSI il existe un n0 entier relatif (il peut etre négatif contrairement à ce que j'avais dit au message d'avant) tel que alpha = k*pi / 2^n0 et la suite est nulle à partir du rang n0+1)

"v(2n) ten vers 0 et v(2n+1) tend vers 1"

-> si une sous suite tend vers 0 alors c'est qu'elle est nulle à partir d'un certain rang et du coup la suite aussi. Donc tu ne peux pas en avoir une qui tend vers 0 et l'autre tendant vers 1.

après il suffit d'écrire v(2n)=4sin²(4ⁿ)

donc il faut un tq 4^n=4^(n+1) modulo 2Pi (car si la suite est stable à partir d'un certain rang elle converge vers une limite) autrement dit :

4alpha=2kPi+alpha donc alpha =Pi/(3*2^n0) avec n0 entier relatif (positif ou négatif) qui nous indique  à partir de quel rang la sous-suite v(2n) ou v(2n+1) est constante.

pour les limites, si n0 pair, la limite c 4sin²(Pi/3) pour v(2n) et 4sin²(2Pi/3) pour v(2n+1)

si n0 impair c l'inverse.


Meme chose pour 2^p limites avec alpha = Pi/((2^p-1)*3ⁿ⁰)

pardonnez moi toby je cherche à comprendre ce que vosu m'avez expliqué mais j'ai décroché à partir de :

4alpha=2kPi+alpha donc alpha =Pi/(3*2^n0) avec n0 entier relatif (positif ou négatif) qui nous indique  à partir de quel rang la sous-suite v(2n) ou v(2n+1) est constante...


puis vous passez directement à 2^p sans passer par ex par 4 qui je pense m'éclairerait un peu plus ... (pardonnez mes faiblesses en math) néanmoins je vous remercie déja de la patience que vous avez à mon égard ...
JE vous en remercie déja infiniment et espere que vous pourrez m'éclairer encore sur le point qui me reste obscur

vu que la suite c'est une fonction sinus, pour qu'elle converge on a plutot tendance à chercher une suite qui devient constante à partir d'un certain rang.

pour que ce soit le cas, il faut que (4^n alpha) soit égale à (4^(n+1) alpha) modulo Pi (et non 2Pi comme j'ai marqué au dessus, vu que c un sinus carré dsl) donc l'idée c de remarquer que k*Pi/3 * 2 = 2*k*Pi/3 et que 2*k*pi/3*2=k*Pi/3 (d'ou la présence de deux limites)

le fait de rajouter le 1/2^n0 ne change rien, car tu vas avoir si n0 pair 4^(n-n0/2)k*Pi/3 (j'avais oublié le k tout à l'heur)  et si n0 impair 4^(n-(n0/2+1)2*k*Pi/3


voila j'avoue c'est pas très clair mais pas simple d'expliquer comme ça sur un forum. Mais l'idée générale est la, et après il faut voir chaque cas rigouresement et discuter par exemple en fonction des valeurs de k (par exemple si k est un multiple de 3 on se ramene au cas d'une limite nulle).

Si tu as bien compris pour les 2 limites, tu n'auras pas de problème pour 4 et 2^p c exactement le meme raisonnement

Ok merci beaucoup je viens de comprendre merci encore pour votre patience