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Aide sur un théorème - CAPES
salut, je cherche à démontrer le théorème du point fixe.
Je rappelle le théorème : Soit I un intervalle qui est fermé de R, non vide et non réduit à un point. Soient k un réel appartenant à ]0,1[ et f une application de I dans R k-lipschitzienne telle que I soit stable par f(f(I)CI). Alors il existe un unique point invariant par f dans I.
J'aimerai prouver qu'il y a au plus un point invariant par f dans I.
Pouvez-vous m'aider, merci
Bonjour
Des idées. Attention, je n'ai pas vérifié dans les bouquins ... rien n'est garantit !
I = [a ; b]
Existence d'une solution
On pose: F(x) = f(x) - x
Pour tout x dans I, a <= f(x) <= b
donc a - f(a) <= 0 et b - f(b) >=0
Toute application k-lipschitzienne est continue, on applique le théorème des valeurs intermédiaires.
il existe une solution.
Unicité de la solution
Supposons qu'il existe deux solutions l et l' tels que:
f(l) = l et f(l') = l'
|f(l) - f(l')| <= k |l - l'|
donc |l - l'| <= k |l - l'|
donc |l - l'| (1 - k) <= 0
Comme |l - l'| >= 0 et (1-k) > 0
la seulle possibilité est |l - l'| = 0
donc l = l'
Intérêt
On a un algorithme de construction de la solution l:
Soit x0 un reel quelconque de ]0 ; 1[
Pour tout entier n, on pose: xn+1 = f(xn)
La suite converge vers l
On démontre par récurrence que:
|u(xn+1) - l| = |f(xn) - f(l)|
donc |u(xn+1) - l| <= k |xn) - l|
on montrerait
|u(xn+1) - l| <= kn |x0) - l|
...
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