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aide SVP- limite

Posté par roupine (invité) 05-02-05 à 21:31

je ne suis pas capable de résoudre ces problèmes. Merci à l'avance.

lim         e^x Arctan e^(-x)
x-> infini
(réponse: 1)

lim     x-Arctan x
x->0  x - Arcsin x
(réponse:-2)

^=exposant
désolé je ne suis pas très familière avec ce site et les symboles au clavier.

Posté par
Nightmarere : aide SVP- limite 05-02-05 à 21:38

Bonjour quand même

1) Euh , je te propose avec sans trop d'assurance un changement de variable : u=\frac{1}{x} pour passer à une limite en 0 puis procéder par développement limité ( je m'y penche aprés pour voir )

2) La par contre c'est un cas classique . Il te suffit décrire :
\frac{x-Arctan(x)}{x-Arcsin(x)}=\frac{x-Arctan(x)}{x-0}\times\frac{x-0}{x-Arcsin(x)}

Or :
0-Arctan(0)=0
et
0-Arcsin(0)=0

On est donc en présence de deux taux d'acroissement


Jord

Posté par
Nightmarere : aide SVP- limite 05-02-05 à 21:42

Euh oublie ce que j'ai dis pour le premier , je n'ai pas bien lu l'expression

Dsl

Je m'y penche quand même


Jord

Posté par
Nightmarere : aide SVP- limite 05-02-05 à 21:46

Oui en fait c'est beaucoup plus simple que ça :

Nous voulons :
\rm \lim_{x\to \infty} e^{x}.arctan(e^{-x})

En posant :
\rm x=\frac{1}{u}\Longleftrightarrow u=\frac{1}{x}
et : \rm x\to \infty\Longleftrightarrow u\to 0

On est mené à chercher :
\rm \lim_{u\to 0} \frac{arctan(u)}{u}
or :
\rm arctan(0)=0

On peut donc écrire :
\rm \lim_{u\to 0} \frac{arctan(u)}{u}=\lim_{u\to 0} \frac{arctan(u)-arctan(0)}{u-0}

On est donc en présence d'un nouveau taux d'accroissement et on a :
\rm \lim_{u\to 0} \frac{arctan(u)}{u} = arctan'(0)
or :
\rm arctan'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}
donc :
\rm arctan'(0)=1

On en déduit :
\rm\lim_{u\to 0} \frac{arctan(u)}{u}=1
soit :
\rm\lim_{x\to \infty} e^{x}arctan(e^{-x})=1


Jord

Posté par
Nightmarere : aide SVP- limite 05-02-05 à 21:52

Euh ... petite erreur .

c'est :

"En posant le changement de variable :
\frac{1}{e^{x}}=u\Longrightarrow e^{x}=\frac{1}{u}
et :
e^{x}\to \infty \Longrightarrow u\to 0"

Autant pour moi


Jord

Posté par roupine (invité)re : aide SVP- limite 05-02-05 à 21:54

Merci beaucoup !!!

Posté par
Nightmarere : aide SVP- limite 05-02-05 à 21:55

De rien


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