Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau école ingénieur
Partager :

aire et volume d'une sphére

Posté par
kurama17
02-10-13 à 15:24

Salut tout le monde,svp j'ai besoin d'une démonstration compléte de l'aire d'une sphére ainsi que son volume,j'ai beau chercher sur internet mais j'ai rien trouver.
Je sais qu'on va utiliser l'intégrale dans la démonstration,mais je sais pas par quoi commencer. Veuillez appuyer svp votre démonstration avec un dessin où vous montrez les angles et ce que vous utilisez dans la démontration.

Merci d'avance.  

Posté par
GaBuZoMeu
re : aire et volume d'une sphére 02-10-13 à 16:15

Ben tu n'es pas très doué pour chercher sur internet ! Rien de plus facile que de trouver ça, par exemple (il y en a beaucoup d'autres)

Posté par
kurama17
re : aire et volume d'une sphére 02-10-13 à 18:42

C'est bon,mais je veux une réponse se basant sur l'intégrale.

Posté par
GaBuZoMeu
re : aire et volume d'une sphére 02-10-13 à 18:47

Tu peux regarder "volume d'une sphère" dans wikipedia.

Posté par
kurama17
re : aire et volume d'une sphére 02-10-13 à 18:52

y a pas de démonstration

Posté par
GaBuZoMeu
re : aire et volume d'une sphére 02-10-13 à 19:10

Tu te fiches de moi ?

Posté par
kurama17
re : aire et volume d'une sphére 02-10-13 à 19:17

j'ai trouvé que c'est  un peu compliqué (y a des notions que j'ignore comme la somme de riemann),en plus j'ai besoin de l'aire aussi

Posté par
kurama17
re : aire et volume d'une sphére 02-10-13 à 23:35

y a quelq'un qui peut m'aider??

Posté par
verdurin
re : aire et volume d'une sphére 03-10-13 à 00:19

Bonsoir,
après les liens donnés par GaBuZoMeu, je ne peux te donner qu'un conseil : apprend à lire.

Posté par
LeDino
re : aire et volume d'une sphére 03-10-13 à 02:01

Le site Wikipédia indiqué par GaBuZoMeu donne la démonstration très facile du calcul du volume de la sphère.

Pour passer à la surface, je te propose l'astuce suivante :
Le volume total est la somme de tous les cônes infinitésimaux de sommet O et de base élémentaire dS.
Le volume d'un cône étant BASE*HAUTEUR/3, ici la base est dS, la hauteur est constante égale à R, donc V = SphèreR/3.ds = SR/3
Donc la surface de la sphère est simplement son volume divisé par (R/3).

Posté par
kurama17
re : aire et volume d'une sphére 17-10-13 à 13:36

Et pour l'élément de surface d'une sphére,comment le trouver?

Posté par
LeDino
re : aire et volume d'une sphére 17-10-13 à 13:57

L'élément de surface de la sphère c'est simplement dS.
Tu l'intègres avec la formule du volume du cône en ayant un R constant, donc il te  reste à intégrer dS sur la surface... ce qui donne simplement S.

Posté par
GaBuZoMeu
re : aire et volume d'une sphére 17-10-13 à 15:04

Encore une fois, une simple recherche te donne immédiatement l'élément d'aire dS en fonction de la latitude \theta et de la longitude \varphi : dS=r^2\,\cos\theta\,d\theta\,d\varphi.

Posté par
kurama17
re : aire et volume d'une sphére 17-10-13 à 15:35

GaBuZoMeu,stp tu peux me donner la démonstration de http://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?dS=r^2\,\cos\theta\,d\theta\,d\varphi

Posté par
GaBuZoMeu
re : aire et volume d'une sphére 17-10-13 à 17:20

Petit déplacement sur un méridien (cercle de rayon r) = r\,d\theta
Petit déplacement sur un parallèle (cercle de rayon r\,\cos\theta) = r\,\cos\theta\,d\varphi
Puisque méridiens et parallèles sont orthogonaux : dS=r^2\,\cos\theta\,d\theta\,d\varphi.

Posté par
lafol Moderateur
re : aire et volume d'une sphére 17-10-13 à 17:59

Bonjour
il y a une très jolie démonstration n'utilisant que des outils élémentaires dans "Serge Lang, des jeunes, des maths", aux éditions Belin ....

sinon, en passant comme ça, le volume de la sphère, c'est zéro.... je pense que c'est le volume d'une boule, que tu voulais calculer ?

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : aire et volume d'une sphére 17-10-13 à 18:04

Une manière parmi pleins d'autres :

Volume de révolution:

on fait tourner la courbe d'équation y = V(R²-x²) (pour x dans [0;R]) autour de l'axe des x, on calcule le volume engendré par :

V = Pi.S(de 0 à R) y².dx
V = Pi.S(de 0 à R) (R²-x²).dx
V = Pi. [Rx²-x³/3](de 0 à R)
V = Pi.(R³-R³/3) = 2.Pi.R³/3
-----
Aire de révolution. :

On fait tourner le demi cercle d'équation f(x) = V(R²-x²) autour de l'axe des x, on calcule le volume engendré par :

Aire = 2Pi S(de 0 à R) f(x).V(1 + (f'(x))²) dx

f(x) = V(R²-x²)
f'(x) = -x/V(R²-x²)

1 + (f'(x))² = 1 + x²/(R²-x²) = R²/(R²-x²)
f(x).V(1 + (f'(x))²) = V(R²-x²) * V(R²/(R²-x²)) = R

Aire = 2Pi S(de 0 à R) R dx = 2Pi.R [x](de 0 à R)
Aire = 2Pi.R²
-----
Sauf distraction.  

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : aire et volume d'une sphére 17-10-13 à 18:05

Le 2eme lien a raté, le revoici :

Posté par
GaBuZoMeu
re : aire et volume d'une sphére 17-10-13 à 18:56

Je signale que la question de kurama17 ( le 17-10-13 à 15:35) portait sur l'écriture de l'élément de volume dS.
Je ne vois pas l'intérêt de donner un calcul faux du volume d'une boule et de l'aire d'une sphère (salut J-P  )

Posté par
LeDino
re : aire et volume d'une sphére 17-10-13 à 19:20

Citation :
sinon, en passant comme ça, le volume de la sphère, c'est zéro...
Oui mais alors "en passant" hein ...
Parce que même Wiki parle de volume d'une sphère (pour dire volume contenu DANS une sphère)...

Et que personnellement, je me vois mal parler de "volume de boules"... sauf à la rigueur avec des joueurs de pétanque, ou avec des professionnels de "métiers à risque" ...

Posté par
lafol Moderateur
re : aire et volume d'une sphére 17-10-13 à 20:53

perso j'ai toujours fait la même différence entre sphère et boule qu'entre cercle et disque...
on parle bien de boules ouvertes ou fermées, non ?
et donc volume de la boule unité ...

Posté par
LeDino
re : aire et volume d'une sphére 17-10-13 à 21:04

On parle surtout de "comment qu'on cause" ...
Ma remarque n'est évidemment pas "académique"...

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : aire et volume d'une sphére 18-10-13 à 11:09

Désolé, je venais d'envoyer une réponse concernant le volume d'une demi boule et l'aire d'une demi sphère sur un autre site ...

Et sans lecture attentive de l'énoncé, j'ai pensé que c'était le même problème posé sur les 2 sites.

Ma démo se modifie sans aucun problème à la boule ou sphère entière.
-----

En réponse à la question du poste initial (et à aucun autre) :

Volume de révolution:  

on fait tourner la courbe d'équation y = V(R²-x²) (pour x dans [-R;R]) autour de l'axe des x, on calcule le volume engendré par :

V = Pi.S(de -R à R) y².dx
V = Pi.S(de -R à R) (R²-x²).dx
V = Pi. [R²x-x³/3](de -R à R)
V = Pi.(R³-R³/3 + R³-R³/3) = 4.Pi.R³/3
-----
Aire de révolution. :  

On fait tourner le demi cercle d'équation f(x) = V(R²-x²) autour de l'axe des x, on calcule le volume engendré par :

Aire = 2Pi S(de -R à R) f(x).V(1 + (f'(x))²) dx

f(x) = V(R²-x²)
f'(x) = -x/V(R²-x²)

1 + (f'(x))² = 1 + x²/(R²-x²) = R²/(R²-x²)
f(x).V(1 + (f'(x))²) = V(R²-x²) * V(R²/(R²-x²)) = R

Aire = 2Pi S(de -R à R) R dx = 2Pi.R [x](de -R à R)
Aire = 4Pi.R²
-----
Et avec la même remarque que dans mon message précédent : "c'est une Une manière parmi pleins d'autres" de répondre à la question initiale.

Sauf nouvelles distraction.

Posté par
kurama17
re : aire et volume d'une sphére 19-10-13 à 22:32

Merci beaucoup les amis pour vos réponses,j'ai compris maintenant,juste GaBuZoMeu,le petit déplacement sur un paralléle=r.sinthéta.dphi

Posté par
lafol Moderateur
re : aire et volume d'une sphére 20-10-13 à 00:03

ça dépend si on utilise la latitude (cos) ou la colatitude (sin )....

Posté par
GaBuZoMeu
re : aire et volume d'une sphére 20-10-13 à 01:17

Et j'avais bien précisé que \theta était la latitude. Kurama, avant de corriger, il faudrait déjà lire correctement.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1741 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !