Salut tout le monde,svp j'ai besoin d'une démonstration compléte de l'aire d'une sphére ainsi que son volume,j'ai beau chercher sur internet mais j'ai rien trouver.
Je sais qu'on va utiliser l'intégrale dans la démonstration,mais je sais pas par quoi commencer. Veuillez appuyer svp votre démonstration avec un dessin où vous montrez les angles et ce que vous utilisez dans la démontration.
Merci d'avance.
j'ai trouvé que c'est un peu compliqué (y a des notions que j'ignore comme la somme de riemann),en plus j'ai besoin de l'aire aussi
Le site Wikipédia indiqué par GaBuZoMeu donne la démonstration très facile du calcul du volume de la sphère.
Pour passer à la surface, je te propose l'astuce suivante :
Le volume total est la somme de tous les cônes infinitésimaux de sommet O et de base élémentaire dS.
Le volume d'un cône étant BASE*HAUTEUR/3, ici la base est dS, la hauteur est constante égale à R, donc V = SphèreR/3.ds = SR/3
Donc la surface de la sphère est simplement son volume divisé par (R/3).
L'élément de surface de la sphère c'est simplement dS.
Tu l'intègres avec la formule du volume du cône en ayant un R constant, donc il te reste à intégrer dS sur la surface... ce qui donne simplement S.
GaBuZoMeu,stp tu peux me donner la démonstration de http://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?dS=r^2\,\cos\theta\,d\theta\,d\varphi
Petit déplacement sur un méridien (cercle de rayon ) =
Petit déplacement sur un parallèle (cercle de rayon ) =
Puisque méridiens et parallèles sont orthogonaux : .
Bonjour
il y a une très jolie démonstration n'utilisant que des outils élémentaires dans "Serge Lang, des jeunes, des maths", aux éditions Belin ....
sinon, en passant comme ça, le volume de la sphère, c'est zéro.... je pense que c'est le volume d'une boule, que tu voulais calculer ?
Une manière parmi pleins d'autres :
Volume de révolution:
on fait tourner la courbe d'équation y = V(R²-x²) (pour x dans [0;R]) autour de l'axe des x, on calcule le volume engendré par :
V = Pi.S(de 0 à R) y².dx
V = Pi.S(de 0 à R) (R²-x²).dx
V = Pi. [Rx²-x³/3](de 0 à R)
V = Pi.(R³-R³/3) = 2.Pi.R³/3
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Aire de révolution. :
On fait tourner le demi cercle d'équation f(x) = V(R²-x²) autour de l'axe des x, on calcule le volume engendré par :
Aire = 2Pi S(de 0 à R) f(x).V(1 + (f'(x))²) dx
f(x) = V(R²-x²)
f'(x) = -x/V(R²-x²)
1 + (f'(x))² = 1 + x²/(R²-x²) = R²/(R²-x²)
f(x).V(1 + (f'(x))²) = V(R²-x²) * V(R²/(R²-x²)) = R
Aire = 2Pi S(de 0 à R) R dx = 2Pi.R [x](de 0 à R)
Aire = 2Pi.R²
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Sauf distraction.
Je signale que la question de kurama17 ( le 17-10-13 à 15:35) portait sur l'écriture de l'élément de volume dS.
Je ne vois pas l'intérêt de donner un calcul faux du volume d'une boule et de l'aire d'une sphère (salut J-P )
perso j'ai toujours fait la même différence entre sphère et boule qu'entre cercle et disque...
on parle bien de boules ouvertes ou fermées, non ?
et donc volume de la boule unité ...
Désolé, je venais d'envoyer une réponse concernant le volume d'une demi boule et l'aire d'une demi sphère sur un autre site ...
Et sans lecture attentive de l'énoncé, j'ai pensé que c'était le même problème posé sur les 2 sites.
Ma démo se modifie sans aucun problème à la boule ou sphère entière.
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En réponse à la question du poste initial (et à aucun autre) :
Volume de révolution:
on fait tourner la courbe d'équation y = V(R²-x²) (pour x dans [-R;R]) autour de l'axe des x, on calcule le volume engendré par :
V = Pi.S(de -R à R) y².dx
V = Pi.S(de -R à R) (R²-x²).dx
V = Pi. [R²x-x³/3](de -R à R)
V = Pi.(R³-R³/3 + R³-R³/3) = 4.Pi.R³/3
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Aire de révolution. :
On fait tourner le demi cercle d'équation f(x) = V(R²-x²) autour de l'axe des x, on calcule le volume engendré par :
Aire = 2Pi S(de -R à R) f(x).V(1 + (f'(x))²) dx
f(x) = V(R²-x²)
f'(x) = -x/V(R²-x²)
1 + (f'(x))² = 1 + x²/(R²-x²) = R²/(R²-x²)
f(x).V(1 + (f'(x))²) = V(R²-x²) * V(R²/(R²-x²)) = R
Aire = 2Pi S(de -R à R) R dx = 2Pi.R [x](de -R à R)
Aire = 4Pi.R²
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Et avec la même remarque que dans mon message précédent : "c'est une Une manière parmi pleins d'autres" de répondre à la question initiale.
Sauf nouvelles distraction.
Merci beaucoup les amis pour vos réponses,j'ai compris maintenant,juste GaBuZoMeu,le petit déplacement sur un paralléle=r.sinthéta.dphi
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