Bonsoir,
c'est une propriété héritée de la construction de .

Merci, je sais dans quels cours chercher maintenant !

Bonjour,
Ne serait-ce pas plutôt l'implication réciproque ?

Bonjour,
Peut-être verdurin voulait-il dire "la construction de ".
Si on construit les réels comme classes d'équivalence de suites de Cauchy de rationnels, il suffit de vérifier que l'addition des suites passe au quotient pour la relation d'équivalence, ce qui est assez immédiat.

Pour tenter de mieux faire comprendre mon message précédent, je pose la même question dans un contexte géométrique :

Soient A, B et C trois points,
Ceci est une propriété ou un axiome? Si c'est une propriété avez-vous une idée de la preuve ?

Bonjour

si A = B, alors [CB] alias [CA] et [AC] ont même milieu, donc , non ?

Alors, je pose une autre question :
Soient A, B et C trois points. Si A = B alors [BC] et [AC] ont même milieu.
Ceci est une propriété ou un axiome ? Si c'est une propriété avez-vous une idée de la preuve ?

si le point A et le point B ne sont qu'un seul et même point, on a un seul et même bipoint donc un seul et même milieu, non ?

Si le réel a et le réel b ne sont qu'un seul et même réel, on a un seul et même a+c et b+c, non ?

il me semble, et je comprends ton interrogation du 28-01-26 à 07:53

Bonjour,

Est-ce que cette démonstration est suffisante :

Soient a, b deux réels tels que a = b.
Alors a - b = 0.
Soit c un réel.
Calculons (a + c) - (b + c).
(a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b = 0 par hypothèse
Donc a + c = b+ c.

Et pourquoi a-b = 0 si a = b ?

J'essaye de faire comprendre que c'est la notion d'égalité qui intervient.
Si a = b alors a+c est la même chose que b+c.
C'est ce qu'exprime lafol avec le mot "alias" dans son message du 1 à 21h25.

Encore un autre exemple avec trois points A, B et C :
Si les points A et B sont confondus, alors les distances AC et BC sont égales.
Sans axiome ni démonstration.

cette notion d'égalité est en train de devenir quelque chose de compliqué pour nos étudiants. J'ai l'impression que pour les bacheliers actuels, il n'est pas clair que lorsqu'on écrit le signe "=", c'est pour dire que ce qui est écrit à droite et ce qui est écrit à gauche sont une seule et même chose, éventuellement écrite sous deux formes différentes. On les voit utiliser ce symbole pour tout et n'importe quoi (de "à peu près égal à" à "a pour dérivée" en passant par des choses encore plus exotiques)

Bonjour,
Je suis désolé pour la réponse tardive je n'étais pas revenu sur ce forum pensant qu'il n'y aurait pas de réactions à la réponse de Verdurin.
C'est sûr qu'en lisant le message de Sylvieg du 4/2/26 à 11h12 je trouve ma question bête ^^ mais je ne voyais pas les choses comme ça. Ma question était bien sur cette implication.
En réalité ma question était: la proposition suivante est-elle une propriété ou un axiome? L'égalité est conservée si on ajoute un même nombre aux deux membres de cette égalité (en travaillant sur les nombres réels).
Je suppose que pour l'implication réciproque il est question de savoir si on peut simplifier (ce qui est une propriété découlant de l'axiomatique de Peano, puis "étendue aux nombres réels").

Bonsoir
l'implication réciproque, dans un groupe, c'est l'existence d'un symétrique

Bonjour,
Ne serait-ce pas plutôt la notion d'élément régulier à droite ?

Bonsoir,
Si un élément est inversible (bilatère), il est nécessairement régulier à droite ?
Donc si j'ai bien compris, pour a, b et c trois réels:
pr tt d réel:  a + c = b + c    =>    a + c + d = b + c + d   (il n'y a rien à prouver c'est une conséquence de l'égalité donc vrai dans n'importe quel ensemble tant que l'addition est définie?  (et est associative compte tenu des notations) )
mais R étant un groupe additif on a l'assurance que -c existe donc en prenant d=-c on a :  a + c = b+c   =>  a = b   ?

Oui. J'avais zappé le mot "groupe".

Merci beaucoup pour vos réponses !

De rien, et à une autre fois sur l'île

Bonjour à tous,
Je propose cette rédaction, on suppose que

et on souhaite montrer que




Première égalité, c'est l'existence de l'élément neutre pour l'addition.
La deuxième c'est la symétrie
La troisième l'associativité,
La quatrième l'hypothèse a+c=b+c, donc on substitue b+c à a+c
La cinquième ....

et pour la première on suppose que a=b  et on part de a+c , on voit que c'est immédiat en substituant b à a...

C'est très clair ainsi