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algèbre
Bonjour j'ai regarder tout l'exo mais je bloque sur certains points pouvez vous m'aider, je vous les indique au cours de l'exo.
1) Étude d'un endomorphisme
de Rp[X]
a) On associe à toute fonction polynôme P la fonction ^P définie sur R par :
^P(x)=(1/(x-1))intP(t)dt,1,x si x différent de 1 et ^P(1)=P(1)
Montrer que la fonction x-->intP(t)dt,1,x est une fonction polynôme admettant 1 pour racine. OK
Montrer que la fonction ^P est une fonction polynôme de même degré que P lorsque P différent de 0.
la je bloque comment fait on?
b) On considère l'application associant à toute fonction polynôme P appartenant à Rp[X] la fonction polynôme ^P définie ci-dessus.
Montrer que est un endomorphisme de Rp[X]. OK
Est-il injectif ? surjectif ?
la je bloque comment faire?
c) Déterminer les images par des fonctions polynômes ek : x --> x^k pour 0<=k<=p, puis en déduire la matrice de dans la base canonique de Rp[X].ok
d) Quelles sont les valeurs propres de ? Ok
est-il diagonalisable? Ok
2) Étude des éléments propres de l'endomorphisme
a) Déterminer les fonctions propres de associée à la valeur propre 1. OK
b) On considère une valeur propre lambda de , et une fonction polynôme propre associée P.
Montrer que, pour tout nombre réel x : (1-lambda)P(x)=lambda(x-1)P'(x). OK
En déduire, si lambda différent de 1, que 1 est nécessairement racine de P.
comment faire pour cette deuxième partie.
c) Déterminer les images par des fonctions polynômes Pk : x -->(x -1)^k pour 0<=k<=p OK
et montrer que (P0, Pl, ... , Pp) est une base de Rp[X]. je dois montrer que c libre et génératrice mais comment je fais?
d) On considère une fonction polynôme P exprimée comme suit dans la base précédente :
P=a0P0+a1P1+...+apPp.
Montrer que a0 =P(1), calculer phig1=phi(P) , phig2=phiophi(P), puis phign=phi^n(P) pour n appa N* .
Déterminer pour tout nombre réel x la limite de phign(x) quand n tend vers +oo, et en déduire en particulier que, si P(x)=x^p, la limite de phign(x) quand n tend vers +oo est égale à 1.
J'arrive pas du tout à faire cette question pouvez vous m'aider??
Pour le 3) j'arrive à aucune question c'est des proba et j'ai du mal pouvez vous m'aider?
3) Application à une marche aléatoire
Un individu se déplace sur les points d'abscisse 0, 1, 2, p selon les règles suivantes :
Il est au point d'abscisse p à l'instant 0.
il est au point d'abscisse k (0<=k<=p) à l'instant n ( nappa N ),il est de façon équiprobable en l'un des k+1 points d'abscisses 0, 1, ... , k à l'instant n+1.
Pour tout nombre entier naturel n, on désigne par Xn la variable aléatoire indiquant l'abscisse du point où se trouve l'individu à l'instant n et par E(Xn), son espérance.
a) Exprimer à l'aide du théorème des probabilités totales la probabilité P(Xn+1=k) où 0<=k<=p en fonction des probabilités P(Xn=0), P(Xn=1), ... P(Xn=p) .
b) En déduire une matrice carrée M telle que Un+1=MUn où Un désigne la matrice-colonne dont les éléments sont du haut vers le bas P(Xn=0), P(Xn=1), ... P(Xn=p).
c) Exprimer le produit matriciel [0 1 2 ... p].M en fonction de [0 1 2 ... p].
En multipliant l'égalité Un+1=M.Un à gauche par la matrice-ligne [0 1 2 ... p], exprimer E[Xn+1] en fonction de E[Xn] puis préciser E[Xn] en fonction de n ainsi que sa limite.
d) Préciser Uo, puis donner Un en fonction de M et de n.
En déduire, à l'aide de la question 2.d que les p+1 composantes de Up ont pour limites (de haut en bas) 1, 0, 0, ... , 0 quand n tend vers +oo, puis interpréter ce résultat.
merci bcp
bonsoir si P n'est pas le polynome nul une primitive de P est un polynome de degré =degre(P) +1 qui peut s'écrire d'aprés ce que tu as montré (x-1)Q(x) donc degré de Q=degré de P et^P c'est Q
si P n'est pas le polynome nul degré de P>ou=0 donc degré de ^P>ou=0
donc ^P n'est pas le polynome nul.seul le polynome nul a pour image le polynômenul si je ne me trompe pas c'est injectif
ok mais faut pas plutot faire ker P et Im p ?
Sinon pour le reste je fais comment?
Merci
... je m'apprête à regarder ton exo qui m'intéresse... je ne te promets rien mais peut-être que demain t'auras un coup de pouce de ma part
@+
3)a) Les événement forment un système complet d'événements ; la formule des probabilités totales donne alors :
.
3)b) Pour tout et tout
, on note
. La formule de la question précédente s'écrit alors :
, et ceci pour tout
. Ceci se traduit par
, où les
sont définis dans l'énoncé de cette question, et où
est la matrice carrée
de coefficient
à la
-ième
ligne et -ième colonne.
L'énoncé ``suggère'' que l'égalité
est vraie pour tout entier naturel
, donc que la matrice
, dont le terme général est
ne dépend pas de
... pourquoi cela ? Ceci signifie que la loi de
conditionnellement à
ne dépend pas de
, et ceci découle des « contraintes » imposées par l'énoncé sur la marche aléatoire : d'après l'énoncé, la façon dont l'individu se déplace d'un instant à l'instant suivant ne dépend pas de cet instant : s'il est au point d'abscisse
à l'instant présent, il est à l'instant suivant à l'un des points d'abscisses
, de façon équiprobable. Autrement dit, conditionnellement à l'événement
, la loi de
est la loi uniforme sur
; elle ne dépend pas de
.
{\bf Remarque : } La suite de variables aléatoires possède la propriété de Markov ; autrement dit : pour tout
, la loi de
conditionnellement à ``tout le passé'' ne dépend que de l'instant précédent , c'est-à-dire que conditionnellement à
, elle ne dépend que de
. On dit que le processus
est une chaine de Markov.
La remarque précédente dit de plus que c'est une chaîne de Markov homogène (homogène dans le temps : le passage (aléatoire) de à
obéit à une loi de probabilité qui ne dépend pas de
).
merci bcp pour ces réponses j'ai donc essayer de continuer mais je suis quand meme bloquée pour 3c et 3d et pour ce qui me bloque avant peux tu m'aider?
oui c'est vrai c'est plus simple mais je dois etre nul mais je ne vois pas comment faire pour 3c et 3d...
D'abord tu n'as du beaucoup essayé car tu m'aurais dit que je me suis planté dans la taille de la matrice : elle est carrée d'ordre p+1 et pas p.
oui c vrai j'avais pas vu cette erreur mais ca n'empèche que je fais que ca CHERCHER et je trouve pas cette partie est vraiment compliquée,
et y a t'il quelqu'un qui puisse m'aider sur les autres questions du début?
En plus je crois que j'ai inversé lignes et colonnes dans la définition de M...
Bon, pour la 3c), il est vraiment facile de voir que
[0 1 2 ... p].Un+1 = E[Xn+1]
par contre quelqu'un peut il me donner un coup de main pour le début de l'exo j'ai indiqué la ou j'etais bloqué
merci
Pour le 1)b), weleda le 10/02/2006 à 18:32 t'a expliqué que . Ceci montre que
est injectif, et comme c'est un morphisme d'un espace vectoriel de dimension finie dans un espace vectoriel de même dimension, il est aussi surjectif.
alors voilà tout d'abord, je vois pas pourquoi ceci est évident :
[0 1 2 ... p].Un+1 = E[Xn+1] et après comment je fais pour trouver E(Xn) en fonction de n et aussi pour calculer Uo et Un en fonction de M et n.
ensuite je reste tout de meme bloqué sur ces points là:
2b) deuxième partie de la question
2c) deuxième partie de la question
2d) j'arrive pas du tout cette question
merci encore
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