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Algèbre

Posté par
JeromeKachak 31-10-23 à 16:16

Bonjour, j'ai besoin d'un petit coup de pouce pour commencer la demo. Je vois bien qu'il y a des inégalités triangulaires qui se cachent la derrière mais pour le moment mes recherches n'aboutissent à rien.

Voici la question : soit d,e des complexes, n un entier >= 2 et w = $e^{2\pi i / n}$|.
Montrer que \sum_{k=0}^{n-1} |b + w^k a|= \sum_{k=0}^{n-1} |a + w^kb|

Posté par
JeromeKachakre : Algèbre 31-10-23 à 16:18

JeromeKachak @ 31-10-2023 à 16:16

Bonjour, j'ai besoin d'un petit coup de pouce pour commencer la demo. Je vois bien qu'il y a des inégalités triangulaires qui se cachent la derrière mais pour le moment mes recherches n'aboutissent à rien.

Voici la question : soit d,e des complexes, n un entier >= 2 et w = $e^{2\pi i / n}$|.
Montrer que \sum_{k=0}^{n-1} |d + w^k e|= \sum_{k=0}^{n-1} |e + w^kd|
<petite erreur c'est bien e,d et non a,b

Posté par
Ulmierere : Algèbre 31-10-23 à 16:41

C'est maladroit d'introduire une variable complexe e alors que w est défini en fonction d'un autre e, la constante d'Euler.

Mais pour en revenir à l'exo

|d + w^ke| = |w|^k|w^{-k}d + e|

Quel est le module de w ?
Et que vaut w^n ? Utiliser cela pour faire un changement de variable, de sorte que le -k redevienne un +k

Posté par
JeromeKachakre : Algèbre 31-10-23 à 19:23

Le changement de variable ne me semble pas trivial, cela fait plus d'une heure que je tourne en rond. Pouvez vous me donner encore quelques indications ?

Posté par
Ulmierere : Algèbre 02-11-23 à 11:47

0 \leqslant k \leqslant n - 1 \implies 1-n \leqslant -k \leqslant 0 \implies 1 \leqslant n-k \leqslant n et w^0 = w^n


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