Bonjour,

Je ne suis pas sûr de bien comprendre.
Tous les éléments z de Z sont de la forme nZ, car on peut les écrire 1.z avec 1 dans N.
Quelque chose m'échappe...

Nicolas

non non, ce n'est pas ce que je voulais dire, mais plutot que les sous-groupes de Z sont de la forme nZ avec un n donné, donc d'après ce que je comprend, ça veut dire qu'à chaque fois qu'on prend un sous-groupe de Z, ses éléments s'écrivent comme produit d'un n donné dans N et un élément de Z.

euh..je ne sais pas si c'est clair

en tout cas merci d'avoir répondu, allez bonne journée à tous

Bonjour.
Ton dernier post est exact : tout sous-groupe de Z est du type nZ, n entier quelconque.
La preuve repose sur la division euclidienne.
1°) Toute partie de Z du type nZ est bien un sous-groupe de Z (facile à prouver).
2°) Réciproque. Soit G un sous-groupe de Z
a) G = {0} = 0Z convient
b) On suppose que G contient au moins un entier non nul: x. Comme G sous-groupe, -x est aussi dans G, donc dans G, il y a au moins un entier k > 0. Soit alors n le plus petit entier > 0 de G. Pour tout a dans G divisons a par n : a = nq + r, 0 r < n.
Mais r = a - nq est élément de G, donc r = 0 et pour tout a dans G, a = nq : G = nZ.
Cordialement RR.

bonjour,

tu sais que les ensembles nZ sont des sous-groupes de Z car si n est fixé, 0 est dans nZ et si a est dans nZ, -a est dans nZ, et enfin, la somme de deux multiples de n est toujours un multiple de n (nZ est l'ensemble des multiples de n dans Z). Ca, c'est facile à voir.

Ce qu'on te demande de prouver je pense, c'est que tout sous-groupe de Z est de cette forme.

Par exemple, prends la réunion des multiples de 6 et de 8 : 6Z U 8Z et rajoute tous les éléments nécessaires de sorte que ce soit un sous-groupe de Z (on dit que c'est le sous-groupe engendré par 6 et 8). La question est, existe-t-il un n tel que ce sous-groupe soit l'ensemble des multiples de n ? La réponse est oui, et c'est ce qu'on te demande de montrer.

Voila j'espere que c'est plus clair,

a plus

oups dsl, j'avais pas vu que raymond avait répondu entre temps...

merci beaucoup

toutes vos explications m'ont aidé à mieux voir la chose.

bonne nuit