Salut,

Je te montre quelques petits trucs pour le 3.

a) Ker up croissante pour l'inclusion veut dire que

Ker u^p Ker u^p+1

On prend x appartenant a Ker u^p.
Donc u^p+1(x) = u(u^p(x)) = u(0) = 0 et x est bien dans Ker u^p+1. D'ou l'inclusion.

b) le plus petit element q
Ensuite, en raisonnant sur la dimension de Ker u^p: puisque les sev Ker up sont de plus en plus grands, leurs dimensions forment une suite croissante d'entiers. Cette suite est majoree par la dimension de l'espace vectoriel E (forcement...). Une suite croissante et majoree converge: pour une suite d'entiers, cela veut dire qu'a partir d'un certain rang, les termes de la suite sont constants. Donc on a un entier N tel que pour n>N, Ker un = Ker un+1. L'ensemble des entiers verifiant cette relation est donc non vide, de plus il est minore (ce sont des entiers naturels, donc positifs), donc il admet un plus petit element.

Voila....

A+
biondo

Bonsoir SombreCrystal,bonsoir biondo;
on voit bien que:
: et inversement si est dérivable en avec la fonction
f: est bien dans d'où:

Sauf erreur

Pour le il n'est pas difficile de voir que:

et donc que:
(noter que )
en remarquant que est une base de on a:
qui est bien triangulaire.
Sauf erreur

Une erreur s'est glissée lors de l'écriture de on a plutot:

Sauf nouvelle erreur

Coucou elhor_abdelali

Une fois que tu as trouvé B', comment fais-tu pour déterminer Mat(u, B') ? Avec la formule de changement de base ?

Merci

Bonsoir SombreCrystal;
ici tu n'as pas besoin d'appliquer la formule de changement de bases car pour avoir il suffit d'exprimer les images des vecteurs de la base dans elle-mm et comme on a:

tu vois que transforme,
*les premiers vecteurs de la base en le vecteur nul
*le 3ième vecteur de la base en le premier
*le 4ième vecteur de la base en le second
d'où:

Sauf erreur bien entendu