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algèbre linéaire

Posté par oriste (invité) 03-12-05 à 16:21

bonjour tout le monde ,
soit E un R-espace vectoriel, F un sous-espace vectoriel de E et G un sous-groupe . On note n = |G|. On suppose que F est stable par chaque élément de G.à tout endomorphisme u {} \, \in \, {}L(E), on associe l'endomorphisme
u^{+}= \frac{1}{n} \sum_{}g°u°g^{-1}
a) Demontrer que Ker(g°u°g−1) = g<Ker(u)> et que Im(g°u°g−1) = g<Im(u)>.
b) déterminer l'endomorphisme \left( {u^{+} } {} \right) ^{+}
merci .

Posté par
stokastikre : algèbre linéaire 03-12-05 à 17:38


G est donc un sous-groupe d'automorphismes de E ?

a) Procède par double inclusion.

Montrons que  Ker(gug^{-1}) \subset g\big(Ker(u)\big)

Soit x \in Ker(gug^{-1}), c'est-à-dire tel que gug^{-1}(x)=0. En composant par g^{-1}, on obtient ug^{-1}(x)=0 donc g^{-1}(x)\in Ker(u) donc puisque x=g\big(g^{-1}(x)\big), on a x \in g\big(Ker(u)\big).

A toi de jouer pour montrer que Ker(gug^{-1}) \supset g\big(Ker(u)\big)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : algèbre linéaire 03-12-05 à 18:11

Bonjour oriste et stokastik,
1/ On peut raisonner par équivalence pour montrer l'égalité directement mais il va falloir s'assurer à chaque pas qu'il s'agit bien d'une équivalence:
\fbox{(\forall x\in E)\\x\in Ker(gug^{-1})\Longleftrightarrow (gug^{-1})(x)=0_E\Longleftrightarrow g((ug^{-1})(x))=0_E\Longleftrightarrow u(g^{-1}(x))=0_E\Longleftrightarrow g^{-1}(x)\in Ker(u)\Longleftrightarrow x\in g(Ker(u))}
\fbox{(\forall y\in E)\\y\in Im(gug^{-1})\Longleftrightarrow(\exists x\in E)\hspace{5}(gug^{-1})(x)=y\Longleftrightarrow(\exists x\in E)\hspace{5}(ug^{-1})(x)=g^{-1}(y)\\\Longleftrightarrow g^{-1}(y)\in Im(ug^{-1})=Im u\Longleftrightarrow y\in g(Im u)}
2/ Commençons par remarquer que \fbox{(\forall h\in G)\hspace{5}hu^{+}h^{-1}=u^{+}} (c'est à dire que u^{+} commute avec tous les éléments de G) en effet on a que:
\fbox{(\forall h\in G)\hspace{5}hu^{+}h^{-1}=\frac{1}{n}\Bigsum_{g\in G}(hg)u(hg)^{-1}} et vu que pour tout h\in G l'application \fbox{G\to G\\g\to g'=hg} est une bijection (vérification facile) on a que \fbox{(\forall h\in G)\hspace{5}hu^{+}h^{-1}=\frac{1}{n}\Bigsum_{g'\in G}g'ug'^{-1}=u^{+}}
et on voit ainsi que:
2$\fbox{(u^{+})^{+}=\frac{1}{n}\Bigsum_{h\in G}hu^{+}h^{-1}=\frac{1}{n}\Bigsum_{h\in G}u^{+}=\frac{1}{n}nu^{+}=u^{+}}
Sauf erreurs...

Posté par oriste (invité)re : algèbre linéaire 04-12-05 à 12:50

Bonjour ,
merci de votre réponse si rapide ...vos réponses m'ont beaucoup aidé...merci stokastik et elhor_abdelali
a+


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