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algèbre linéaire
bonjour, c'est une question d'algèbre linéaire, j'aimerai un peu d'aide svp
on désigne par E l'espace vectoriel réel 
[X], des polynomes à une indéterminée à coefficients réels, et par F l'ensemble des polynomes de E de degré inférieur ou égal à 3.
il faut choisir parmi les propositions (elles peuvent etre toutes fausses ou on peut en avoir plusieurs bonnes)
F est
1)un sous anneau de l'anneau [X]
2)ne peut etre un anneau car [X] n'est pas un anneau
3)est un groupe pour la multiplication des polynomes
4)est un anneau sur le corps des réels
5)n'est pas un sous-ev de E car F n'est pas un groupe commutatif pour l'addition des polynomes
6)est un sous-ev de E sur le corps des réels de dimension 3
7)est un sous-ev de E sur le corps des réels de dimension 4
8)est un sous-ev de E sur le corps des complexes de dimension 4
vu que j'ai un peu de mal avec l'algèbre linéaire j'aimerai aussi qq explications pour les réponses si ce n'est pas trop demander
merci d'avance
Bonjour,
Quelques essais :
1 - non car le produit de deux pôlynomes de F n'est par nécessairement dans F (degré 3 x degré 3 => degré 6)
2 - R[x] est un anneau (anneau des séries formelles sur R)
3 - non car pas d'élément inverse pour la multiplication (pas de fractions)
4 - non, idem 1
5 - non car F est un groupe commutatif pour l'addition des polynomes
6 - non, voir 7
7 - oui, les éléments sont de la forme a.X^3+b.X^2+C.X+D ou (a, b, c, d)
8 - oui, voir 7 et en notant que F est stable pour les opérations + et * sur 
A vérifier...
Bonjour,
Pour les réponses :
a) FAUX, x^2 * x^2 n'est pas ds F, dc F non stable par multiplication
b) FAUX, E est bien un anneau, je te laisse le soin de le vérifier
c) FAUX, X n'a pas d'inverse pour la multiplication
Par contre, E est bien un groupe, mais pour l'addition !
d) Pas compris, dsl...
e) FAUX, F est bien un groupe commutatif pour l'addition
f) FAUX, la dimension est 4 (base : 1,X,X^2,X^3)
g) VRAI
h) FAUX
Attention, je rectifie ma réponse pour la dernière question, la réponse est bien vraie, pour la même base, dsl...
bonsoir...
Ma question est la suivante qu'est ce que vous entendez par
" 4) F est un anneau sur le corps des réels "
un anneau sur un corps... késako.. la structure d'anneau comme celle du groupe n'est pas "sur" qq chose comme peut l'être un espace vectoriel ...
Et pout la 8 en toute rigueur, je suis désolé de vous dire que la réponse est non
car E = R[X] ce qui veut dire que si on multiplie scalairement n'importe quel polynome par un nombre complexe à partie imaginaire non nulle par exemple i, on sort de R[X]
La réponse est vraie si on considère cdans cette question E= C[X]
Et à tout ceux qui voudraient dire que je sodomise les drosophiles... et bien ... c'est possible en effet, mais un petit peu de rigueur de temps en temps... ça me met de bonne humeur alors...
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