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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Algèbre linéaire

Posté par
FerreSucre
05-10-23 à 18:33

Bonjour, voilà maintenant quelques temps que je bloque sur un exercice et après avoir essayé de comprendre plusieurs fois, étalé sur plusieurs jours je suis toujours bloqué. Est-ce une incompréhension des objets qu'on manipule ou un truc qui me saute pas au yeux… ou des détails que j'aurais oublié sur ces objets (fort possible haha) bref voici :

G_n = {-1,1}^n et V_n est l'ensemble des fonctions de G_n dans \R.

On a montré question précédente, que V_n était un espace vectoriel.
Et que en posant :

\delta_{x}(y) = 1 si x = y et 0 sinon.
Alors la famille (\delta_x)_{x\in G_n} était une base de V_n et que, dim V_n = 2^n.

Maintenant là où je bloque :

Soit :

V(x) = \{(y_1,…,y_n)\in G_n | \exists{i_o} \in [1,n], y_i = x_i \text{ si } i \neq i_o, \text{ et }, y_{i_o} = -x_{i_o}\}

Montrer qu'il existe un unique endormorphisme de V_n vérifiant :


\forall{x \in G_n} : \Phi_n(\delta_x) = \sum_{y\in V(x)}\delta_y

Voilà si quelqu'un peut me guider, me donner une piste. J'ai juste écrit ça …. :

\Phi_n(\delta_x) = \sum_{y \in G_n, y \neq x} \alpha(x,y)\delta_y

Ou \alpha(x,y) est une fonction de G_n² dans \N.
Merci d'avance.

Posté par
FerreSucre
re : Algèbre linéaire 05-10-23 à 18:34

* Petite erreur :

G_n = \{-1,1\}^n

Posté par
carpediem
re : Algèbre linéaire 05-10-23 à 19:53

salut

oublions l'indice n qui est inutile ..

il est défini une application \Phi de V dans V par \forall{x \in G} : \Phi(\delta_x) = \sum_{y\in V(x)}\delta_y

il me semble qu'il y a plusieurs choses à montrer :

1/ bien montrer qu'elle est bien définie en remarquant que la famille (\delta_x)_{x\in G} est une base de V
et
2/ en montrant que \Phi est linéaire

et peut-être ce qui revient à déterminer l'image d'une fonction f quelconque de G dans R par \Phi

Posté par
FerreSucre
re : Algèbre linéaire 05-10-23 à 22:50

Hmm d'accord, alors la partie sur elle est bien définie serait simplement que comme (\delta_x)_{x \in G} est une base de V alors on en deduit que pour f dans V \Phi(f) est bien definie car on peut réécrire f dans cette base.

Et au niveau de la linéarité parcontre …
Faudrait montrer ça en gros si je suis ton dernier propos :

\Phi(f) = \Phi(\sum_{x \in G}\alpha_x\delta_x) = \sum_{x \in G}\alpha_x\Phi(\delta_x)

On peut peut-être remarquer que (\Phi(\delta_x))_{x \in G} si je ne dis pas de bêtises ? Ce qui impliquerait que :

\Phi(f) = \sum_{x \in G}\beta_x\Phi(\delta_x)

Faudrait montrer que \beta_x = \alpha_x et on aurait la linéarité. Mais bon je dois rater un truc ça ne me saute toujours pas aux yeux haha

Posté par
FerreSucre
re : Algèbre linéaire 06-10-23 à 10:06

Et sinon, on peut montrer assez facilement que si \Phi existe alors elle est unique et poser :


\Phi(f) = \sum_{x \in G}\alpha_x \sum_{y \in V(x)} \delta_y

Avec f = \sum_{x \in G}\alpha_x\delta_x

Et montrer que cette définition vérifie bien que phi est un endormorphisme ?
Et c'est terminé ducoup ?

Posté par
FerreSucre
re : Algèbre linéaire 06-10-23 à 15:45

J'ai fini par trouver ! J'aurais juste une dernière petite question bête :

Card(V(x)) = n , non ?
J'ai un doute mais pour n = 2 par exemple : (1,1) \notin V(-1,-1) ?

Et si Card(V(x)) = n comment le montrer/justifier proprement ?


(Enfaite je cherche à montrer que : \sum_{x \in V(y)} 1 = \sum_{y \in V(x)} 1)

Posté par
carpediem
re : Algèbre linéaire 06-10-23 à 17:52

il me semble bien que :

G contient 2n éléments

l'application x \mapsto \delta_x est bijective par définition/construction de \delta_x

V(x) est l'ensemble des éléments de G différant de x par une seule composante (ou coordonnée) qui lui est opposée donc V(x) contient n éléments (puisque x est un n-uplet)

Posté par
FerreSucre
re : Algèbre linéaire 10-10-23 à 14:07

Merci au fait j'ai oublié de répondre…. J'ai pu terminer entre temps ! Bonne journée à toi

Posté par
carpediem
re : Algèbre linéaire 10-10-23 à 19:23

de rien et à toi aussi



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