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Algèbre linéaire
Bonjour, voilà maintenant quelques temps que je bloque sur un exercice et après avoir essayé de comprendre plusieurs fois, étalé sur plusieurs jours je suis toujours bloqué. Est-ce une incompréhension des objets qu'on manipule ou un truc qui me saute pas au yeux… ou des détails que j'aurais oublié sur ces objets (fort possible haha) bref voici :
et
est l'ensemble des fonctions de
dans
.
On a montré question précédente, que était un espace vectoriel.
Et que en posant :
si
et 0 sinon.
Alors la famille était une base de
et que,
.
Maintenant là où je bloque :
Soit :
Montrer qu'il existe un unique endormorphisme de vérifiant :
Voilà si quelqu'un peut me guider, me donner une piste. J'ai juste écrit ça …. :
Ou est une fonction de
dans
.
Merci d'avance.
salut
oublions l'indice n qui est inutile ..
il est défini une application de V dans V par
il me semble qu'il y a plusieurs choses à montrer :
1/ bien montrer qu'elle est bien définie en remarquant que la famille est une base de
et
2/ en montrant que est linéaire
et peut-être ce qui revient à déterminer l'image d'une fonction f quelconque de G dans R par
Hmm d'accord, alors la partie sur elle est bien définie serait simplement que comme est une base de V alors on en deduit que pour f dans V
est bien definie car on peut réécrire f dans cette base.
Et au niveau de la linéarité parcontre …
Faudrait montrer ça en gros si je suis ton dernier propos :
On peut peut-être remarquer que si je ne dis pas de bêtises ? Ce qui impliquerait que :
Faudrait montrer que et on aurait la linéarité. Mais bon je dois rater un truc ça ne me saute toujours pas aux yeux haha
Et sinon, on peut montrer assez facilement que si existe alors elle est unique et poser :
Avec
Et montrer que cette définition vérifie bien que phi est un endormorphisme ?
Et c'est terminé ducoup ?
J'ai fini par trouver ! J'aurais juste une dernière petite question bête :
Card(V(x)) = n , non ?
J'ai un doute mais pour n = 2 par exemple : ?
Et si Card(V(x)) = n comment le montrer/justifier proprement ?
(Enfaite je cherche à montrer que : )
il me semble bien que :
G contient 2n éléments
l'application est bijective par définition/construction de
V(x) est l'ensemble des éléments de G différant de x par une seule composante (ou coordonnée) qui lui est opposée donc V(x) contient n éléments (puisque x est un n-uplet)
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