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Algèbre linéaire en dimension quelconque

Posté par
ZeroDelta 24-09-24 à 18:55

Bonjour,
Je me permets de vous contacter sur le forum car j'éprouve un problème d'algèbre, domaine dans lequel mes compétences sont encore limitées...

La question est la suivante :
Soient p et q deux projecteurs d'un K-ev E. Il faut montrer cette implication :

\\ \begin{cases} \\ \text{Im}(p) \subset \text{Im}(q), \\ \\ \text{Ker}(q) \subset \text{Ker}(p). \\ \end{cases} \\ \implies \\ \( q \circ p = p \circ q = q \) \\

J'ai pensé à réduire p \circ q et q \circ p à Im(p) et Ker(p) mais je n'arrive pas a aboutir...

Quelqu'un aurait une idée ?

Merci

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Algèbre linéaire en dimension quelconque 25-09-24 à 09:07

Bonjour,
Es-tu certain de ton énoncé ?
Ne serait-ce pas plutôt \; q \circ p = p \circ q = p \; ?

Posté par
ZeroDeltare : Algèbre linéaire en dimension quelconque 25-09-24 à 11:46

Bonjour,
Si exact, c'est une erreur de ma part
Désolé

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Algèbre linéaire en dimension quelconque 25-09-24 à 11:57

Tu as des SEV supplémentaires.
Décompose un élément u quelconque de E en les utilisant puis regarde les images.
Si ça n'aboutit pas, décompose autrement.

Posté par
ZeroDeltare : Algèbre linéaire en dimension quelconque 25-09-24 à 17:39

c'est ce que j'ai fait, merci !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Algèbre linéaire en dimension quelconque 25-09-24 à 18:27

De rien, et à une autre fois sur l'île \;

Posté par
almohre : Algèbre linéaire en dimension quelconque 30-09-24 à 17:22

Sylvieg @ 25-09-2024 à 09:07


Ne serait-ce pas plutôt \; q \circ p = p \circ q = p  ?

J'ai fait comme ceci: Soit x\in E, alors p(x)\in \text{im}(p), comme \text{im}(p)\subset \text{im}(q), on a p(x)\in\text{im}(q), donc q(p(x))=p(x). Par ailleurs, on a  x-q(x)\in \ker(q) et comme \ker(q)\subset \ker(p) , on a x-q(x)\in \ker(p), donc p(x)=p(q(x)), donc en conclusion \forall x\in E, \qaud p(q(x))=q(p(x))=p(x), donc p\circ q=q\circ p=p.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Algèbre linéaire en dimension quelconque 30-09-24 à 17:40

Bonjour almoh et bienvenue sur l'île
Ce que tu proposes est bien plus simple que ce que j'avais envisagé !

Posté par
Ulmierere : Algèbre linéaire en dimension quelconque 30-09-24 à 18:07

* Modération >   *** Bonjour ***

Le même raisonnement en moins écrasé : il s'agit de montrer que p\circ(q-id) = (q-id)\circ p = 0.

La première égalité vient du fait que pour tout x, q(x)-x\in\ker q\subseteq\ker p.
La seconde, du fait que p(x)\in Im(p)\subseteq Im(q).

Dans les deux cas, on constate que seul le fait que q est un projecteur est important pour le raisonnement, p peut être n'importe quelle application linéaire, a priori

Posté par
almohre : Algèbre linéaire en dimension quelconque 03-10-24 à 20:29

Bonjour,
@Sylivieg: Merci beaucoup.
@Ulmier: Merci, te remarque sur p \\ peut être quelconque m'intéresse beaucoup, je vais l'examiner de près.

Posté par
Ulmierere : Algèbre linéaire en dimension quelconque 04-10-24 à 16:14

Si tu veux encore une autre façon de présenter les choses :

Lemme :
Soit q un projecteur, c'est-à-dire une application linéaire telle que q^2 =q.
Alors Im(q) \subseteq \ker(q-id) et \ker(q) \supseteq Im(q-id)

Preuve du lemme:
0 = q^2-q = (q-id)\circ q donc Im(q) \subseteq \ker(q-id).
De même, on voit que (q-id)^2 = -(q-id).
Si on pose u = q-id, alors 0 = u^2+u = (u+id)\circ u = q\circ u.
Ce qui veut bien dire que Im(q-id) = Im(u) \subseteq \ker q.

Preuve du fait que qp = pq = p:
p\circ (q-id) = 0 parce que Im(q-id) \subseteq \ker(q) \subseteq \ker(p)
(q-id) \circ p = 0 parce que Im(p)\subseteq Im(q) \subseteq \ker(q-id)

----------------------------------

Remarque 1:
Les inclusions présentées dans le lemme sont en fait des égalités.
En effet, si x\in\ker q, alors x = x - q(x) = (id-q)(x) \in Im(id-q)=Im(q-id).
Et si x\in\ker(q-id), alors x = q(x)\in Im(q)

Remarque 2:
Le fait que p est un projecteur n'intervient pas dans la preuve.
Même si on ne suppose pas que c'est le cas, c'est automatique !
On a p\circ (p-id) = 0, parce que Im(p-id)\subseteq Im(q-id) = \ker(q)\subseteq\ker(p). La première inclusion est une conséquence élémentaire de Im(p)\subseteq Im(q).


Remarque 3:
Un projecteur est une projection sur son image parallèlement à son noyau. Tout élément x peut s'écrire sous la forme x = q(x) + (x-q(x)). Le premier est un élément de im(q), l'autre est un élément de im(q-id) = ker(q).
L'écriture est unique parce que si q(x) + k = 0 est une écriture de 0 alors en composant par q, q(x) = q^2(x) = 0 + q(q(x)) = q(k + q(x)) = q(0) = 0, puis k = 0.

C'est ce que Sylvieg essayait de te faire faire. On écrit E = Im(q)\oplus\ker(q) et on prend un x\in E qu'on décompose en x = q(x) + (x-q(x))
On en déduit que p(x) = pq(x) + p(x-q(x)). Mais x-q(x) appartient à ker(q) donc à ker(p). Donc p(x) = pq(x) pour tout x.
Par ailleurs, im(p) est incluse dans im(q), donc il existe y tel que p(x) = q(y). Donc qp(x) = q(q(y)) = q(y) = p(x), ce qui montre bien que qp(x) = p(x) = pq(x), pour tout x


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