fP=(fX-1)Q
donc Q=(fP)/(fX-1) ?? pff ça veut rien dire ça!!

non, pas comme ça.
développe la deuxième parenthèse, il va y avoir Q tout seul.

Kaiser

fP=fXQ-Q <=> Q=(fX)Q-fP=f(XQ-P)
comme ça tu veux développer?

Q il est pas tout seul!!

ben, si Q est tout seul ... à gauche (il est aussi à droite mais c'est pas grave).
Le fameux polynôme R c'est tout simplement XQ-P qui est bien à coefficients dans A car Q et P le sont.

Kaiser

ohh mais c'est pas  bizarre que R dépende de Q??

non, du tout : la récurrence dit bien de montrer que " pour tout P tel que fP=(fx-1)Q, il existe R ..; ' donc ce n'est pas étonnant.

Kaiser

humm (mais elle ne dit pas il existe R dépendant de Q )
ok,donc ça c'est pour n=1.
On suppose vrai pour n-1,cad pour tout P/fP=(fX-1)Q,il existe R à coef dans A tel que Q=f^{n-1}R ??
c'est ça?
je comprend pas quand est-ce qu'on va utiliser l'hypothese de recurrence?

oui voilà, avec Q=R.f^(n-1).
ensuite on a:
f^n.P=f.(f^(n-1).P)=f.(fX-1).Q=(fX-1).Qf ou Q=f^(n-1)R,donc on a un nouveau Q'=Q.f=f^n.R
c'est ça?

pas tout à fait, on suppose plutôt que .

Kaiser

on montre quoi P(n) vrai =>P(n+1) vrai
ou P(n-1) vrai => P(n) vrai?

parce que là tu supposes fⁿP=(fX-1)Q mais Q=fⁿR
non?

comme toi : ou P(n-1) vrai => P(n) vrai?

(dans P(n) on suppose bien cette égalité, non ?)

Kaiser

oui!
Mais le rpobleme c'est qu'on sait que

avec

maintenant on suppose ça:


??

n'oublie pas que la propriété au rang n-1 est vraie pour tout polynôme à coefficients dans A.
On va appliquer P(n-1) à un polynôme autre que P.

Kaiser

vrai pour tout polynome dans A donc en particulier pour Q non?
ça veut dire ça?

avec
??

non, on n'a pas ça.
et si tu l'appliquais au polynôme fP ?

Kaiser

on applique à fP:


là c'est bon?

C'est ça, R est à coefficients dans A, tu divises par et tu réappliques le cas n=1.

Bref, finalement, c'est gagné.
Il suffit simplement faire le lien avec la question et puis c'est tout.

Kaiser

ah oué!!
et bah,c'était malin ce truc!
Merci encore!
Encore une fois,c'est parfais!

Mais je t'en prie !

à coefficient dans A, à coefficient dans A_f j'ai toujours pas capté !

Soit P dans le noyau, alors P est un polynôme à coefficients dans A.
Or (car pour tout x de A, on a .

Comme P est dans le noyau, alors est une racine de P dans , donc on peut le factoriser par mais dans l'anneau (on ne peut pas faire mieux a priori).
Il existe donc un polynôme R à coefficients dans tel que

Les coefficients de R sont de la forme avec k entier naturel.
Si on note m le maximum de ces entiers k, si k est un de ces entiers alors est un élément de A.

Du coup, est u polynôme à coefficients dans A et donc avec qui est à coefficients dans A.

Là, c'est OK ?

Kaiser

Pour la recurrence j'ai pas tout capté, mais bon sinon la factorisation du fait que tu me dis , je comprend !!

J'ai mis sur la feuille :
On prend P dans Ker(f), mais alors est aussi dans Ker(f) donc on a 1/f est racine de cad  .

qu'est-ce que tu n'as pas compris dans cette dernière affirmation ?

Kaiser

J'ai pas compris pourquoi il faut faire une recurrence pour montrer que l'on peut supposer n=0

ce que l'énoncé demande de prouver est la chose suivante :
si pour un certain entier n, on a , alors on peut en fait simplifier par .

Plus précisément, il faut montrer que les coefficients de Q sont dans ce cas des multiples de .

En transformant cette égalité nous dit que .
Si n est supérieur ou égal 1, cette égalité nous indique que les coefficients de Q sont des multiples de f uniquement et pas directement par (autrement dit, on ne peut descendre que d'un cran à la fois), d'où le besoin de faire une récurrence.

Kaiser

ah OK,
bon il faut que je re-rédige maître kaiser!

effectivement si les coefficients de Q sont des multiples de en simplifiant par on a bien ce que l'on veut.