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Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 23:08

ça serait plutôt le contraire.

Ici, on a \Large{\exp(\frac{2ik\pi}{n})} qui est d'ordre d.
quel est en fonction de k et d, l'ordre de \Large{\exp(\frac{2i\pi}{n})} ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 23:19

exp(\frac{2i\pi}{n})est d'ordre n or kd est multiple de n...donc exp(\frac{2i\pi}{n})est d'ordre k.d ??

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 23:29

Ce n'est pas le fait que kd est un multiple de n qui implique que cet élément est d'ordre n.

En fait, on a que \Large{\exp(\frac{2ikd\pi}{n})=1}
Quelle inégalité peux-tu en déduire ?

Par ailleurs, \Large{1=\exp(\frac{2in\pi}{n})=(\exp(\frac{2ik\pi}{n}))^{\frac{n}{k}}}

De là quelle inégalité peux-tu en déduire ?
Ensuite, essaie de conclure.

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 23:35

des inégalités??!!
(la deuxieme égalité implique t-elle que d=n/k?)

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 23:38

En fait, les deux inégalités dont je te parle vont permettre de montrer cette égalités.

En fait, les égalités que j'ai écrites plus haut n'implique que des inégalités (en utilisant la définition de l'ordre).

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 24-02-07 à 23:58

Bon la je me nois completement!
je regarderais ça plus tard parce que la je comprend rien,je mélange tout,bref j'avance pas,je patauge donc je reposterais sans doute dimanche soir ou lundi soir.
Bonne fin de soirée Kaiser,désolé de te laisser comme ça mais la...
A plus tard

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 00:01

Bon OK !
à plus tard !

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 14:42

Bonjour,pour les inégalités je vois pas trop,je te montre la ce que j'ai écrit:
\rm on a: 1\le d\le n donc, 2ik\pi\le 2ikd\pi\le 2ikn\pi
\rm puis on divise par n: \frac{2ik\pi}{n}\le \frac{2ikd\pi}{n}\le \frac{2ikn\pi}{n}
\rm puis on prend l'exponentielle: e^{\frac{2ik\pi}{n}}\le e^{\frac{2ikd\pi}{n}}\le e^{\frac{2ikn\pi}{n}}

\rm or tu as marque que: e^{\frac{2ikd\pi}{n}}=1,donc,ca nous fait ca: e^{\frac{2ik\pi}{n}}\le 1\le e^{\frac{2ikn\pi}{n}}
voila je vois vraiment pas à quoi tout ça m'a avancer...

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 14:46

Bonjour

Des inégalités entre complexes ???

Voici le genre de choses que j'attendais :

Dans un groupe si x est d'ordre p alors si q est un entier non nul, alors si \Large{x^{q}=e} alors par définition de l'ordre, on a \Large{n\leq q}.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 14:48

Pardon, je voulais dire \Large{p\leq q}.

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 15:12

ahh bon bon ok...
exp(\frac{2ik\pi}{n})est d'ordre d.
exp(\frac{2ikd\pi}{n})=1

exp(\frac{2ik\pi}{n})est d'ordre n/k puisque:
exp((\frac{2ik\pi}{n})^{\frac{n}{k}})=1
donc si j'ai compris(ce qui m'étonnerais) on a;

d\le \frac{n}{k}??
çace serait pour moi la premiere inégalité que tu m'a demandé.??

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 15:18

Si tu dis que \Large{\exp(\frac{2ik\pi}{n})} est d'ordre \Large{\frac{n}{k}} alors il n'y a plus rien à dire et on a directement \Large{d=\frac{n}{k}}.
Justement, on veut montrer que c'est son ordre.

Sinon, on dit que \Large{\exp(\frac{2ik\pi}{n})^{\frac{n}{k}}} et on obtient l'inégalité que tu as à la fin.
Dans mon message d'hier de 23h29 cette inégalité est la deuxième dont je te parlais.

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 15:29

mais pourquoi on le sait pas que exp(\frac{2ik\pi}{n})est d'ordre n/k?
sinon pour la premiere égalité on a que kd>=n... donc on a bien l'égalité aprés.

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 15:52

Citation :
mais pourquoi on le sait pas que exp(\frac{2ik\pi}{n}) est d'ordre n/k?


Justement, ce n'est pas si évident que ça.
C'est pour cela qu'on voulait montrer k=nd.

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 15:57

ok alors maintenant qu'on amontré cela,on fait quoi??

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 16:15

on a trouvé un élément d'ordre d,il faut que je trouve le sous groupe engendré par ce terme??
Comment on fait?...

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 16:21

Le groupe engendré par un élément x d'ordre d est l'ensemble \Large{\{x^{p},p=0..d-1\}}

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 16:40

ok donc le sous groupe engendré par exp(\frac{2ik\pi}{n})^{\frac{n}{k}}est:
G_d=({e^{\frac{2ik\pi}{n}}^p,p=0..d-1
Pour justifier l'unicité de ce sous-groupe...
et aussi comment justifier que Gd contient tout les éléments d'ordre d de Rn??

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 16:43

Tu t'es trompé d'élément.
L'élément d'ordre d que l'on a déterminé est le complexe \Large{\exp(\frac{2ik\pi}{n})} avec k=n/d donc cet élément est \Large{\exp(\frac{2i\pi}{d})}.

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 16:51

ahh oui ok exact,j'ai fait une erreur de recopie.
Donc aprés,le sous-groupe engendré ça change...ok,ça c'est bon,ce sous-groupe contient tout les éléments d'ordre d de Rn car les éléments d'ordre n sont de la forme exp(\frac{2i\pi}{n}) et les éléments de Gd sont de la meme forme sauf que d=n...enfin je sais pas si c'est comme ça que l'on justifie,c'est pas trés rigoureux voire pas du tout.

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 17:17

Tout d'abord, j'ai commis une petite bêtise : le raisonnement que je t'avais proposé est faux car il conduit au fait qu'il n'y a qu'un seul élément d'ordre d.

Voici d'où vient le hic : j'avais supposé que n/k est toujours un entier alors que c'est faux.

En fait, le raisonnement est de zapper cette recherche et dire tout de suite que l'élément \Large{\exp(\frac{2i\pi}{d})} est d'ordre d.
Ensuite, on considère le groupe engendré par cet élément et on montre que c'est le seul sous-groupe d'ordre d.

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 17:27

Ok,bon, ça n'aura quand meme pas été inutile tout ça,ça m'a fait revoir quelques trucs que je n'avais pas assimilé...
On consider donc le groupe engendré par cet élément et on le note Gd:
G_d=(exp(\frac{2i\pi}{n}^p,p=0..d-1)
c'est un sous-groupe d'ordre d puisque tout ses éléments le sont...?
Aprés pour montrer l'unicité,j'ai pensé à un raisonnement par l'absurde mais je ne trouve rien de trés bon...
As tu une idée?

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 17:30

Citation :
c'est un sous-groupe d'ordre d puisque tout ses éléments le sont...?

Justement non : tous ces éléments ne sont pas d'ordre d : par exemple 1 est dedans mais n'ai pas d'ordre d si d est différent de 1.


Citation :
Aprés pour montrer l'unicité,j'ai pensé à un raisonnement par l'absurde mais je ne trouve rien de trés bon...
As tu une idée?


Quelle égalité est vérifiée par ces éléments ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 17:35

l'égalité vérifié est:exp(\frac{2i\pi}{d})^d=1??

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 17:37

oui mais c'est mieux que ça : si x est dans ce groupe alors il vérifie \Large{x^{d}=1}

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 17:42

oui,x dans Gd alors x^d=1...et ok mais je vois pas ou tu veux que j'en vienne

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 17:43

ah oui mais en général combien y'a-t-il de complexes qui vérifient cette égalité ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 17:43

et surtout, qui sont-ils ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 17:49

euhh il y a en beaucoup qui vérifie ça:
e^0=1,e^{2i\pi}=1,e^{4i\pi}=1...ainsi de suite...non?

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 17:50

de maniere générale c'est les e^{2ik\pi}ou k est un multiple de 2...non?

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 17:51

Les complexes que tu viens de me citer sont les mêmes.

J'ai dit l'équation : \Large{x^{d}=1}

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 17:53

lol bah alors e^{\frac{2ik\pi}{d}}avec k un multiple de 2...

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 17:54

Pourquoi un multiple de 2 ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 17:57

ahh oué non pas forcément...ok autant pour moi.

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 18:00

et donc, quels sont les complexes qui vérifient cette égalité ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 18:04

eh bien ce ne sont pas ceux la?? ceux de la forme e^{\frac{2ik\pi}{d}}??...quand tu les élèvent à la puissance d,on a 1...pour tout k un entier.

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 18:11

OK !
Résumons :
On a trouvé un sous-groupe d'ordre d qui est engendré par \Large{\exp(\frac{2i\pi}{d})}.

Ensuite, si H est un sous-groupe d'ordre d, alors peux-tu me dire pourquoi tout élément vérifie nécessairement \Large{x^{d}=1} ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 18:16

Si H est un sous-groupe d'ordre d,et que x appartiennent à H,ça veut dire que x^d=1,c'est meme toi qui me l'a dit
(cf message 17:37)...?!

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 18:25

Excuse-moi, je me suis mal exprimé !
Dans ce message, je parlais des éléments du groupe \Large{G_{d}} que l'on a considéré, à savoir l'ensmeble \Large{\{\exp(\frac{2ik\pi}{d}), k=0..d-1\}}.

Là, je parle de manière générale : si H est un groupe de cardinal d, alors si x est dans G, alors \Large{x^{d}=1}
pourquoi ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 18:37

Alors la j'en sais rien...c'est peut etre une proprieté...non?

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 19:00

ça te dit quelque chose le théorème de Lagrange ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 19:02

euhh le truc la,si
H est un sous groupe de G alors cardH/cardG,ça oui.

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 19:07

oui ! On se sert de ce théorème pour montrer le résultat que j'ai énoncé tout à l'heure.
Soit H un groupe d'ordre d et x dans H.
Alors x a un ordre que l'on note p.
p est alors le cardinal du sous-groupe engendré par x.
Or d'après le théorème de Lagrange, p divise le cardinal de GH, c'est-à-dire d.

Ainsi, il existe q tel que d=pq

on en déduit donc que \Large{x^{d}=x^{pq}=(x^{p})^{q}=e^{q}=e}

d'où le résultat.

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 19:15

bon bah ok,alors ça c'est bon...ainsi a-t-on card Gd=d??

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 19:17

D'après l'énoncé, oui !
On cherche un sous-groupe de cardinal d.
On vient de voir que tous les éléments de ce groupe vérifient \Large{x^{d}=1}

Donc, quel est ce groupe ?


Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 19:23

eh bien c'est Gd par définition meme non?

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 19:26

Tu fais référence à ce que tu as appelé \Large{G_{d}} dans ton message de 17h27 ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 19:27

oui!

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 19:30

Dans ce cas, oui !
et donc, on a bien montré l'unicité !

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre:theorie des groupes 25-02-07 à 19:36

ok d'accord,merci Kaiser!
Pour la 5,je vais me débrouiller,je te remercie encore une fois de ton aide en dépit de ma nullité
A bientot.

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