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Algèbres de Boole et Tribus engendrées

Posté par
superjuju45 06-10-20 à 09:09

Bonjour je bloque à la fin de la deuxième question de l'exercice suivant (j'ai peut-être fait des erreurs avant) :

(a) Soit X un ensemble et (An)n0 une suite croissante d'algèbres de Boole sur X. Vérifier que \bigcup_{n\geq 0}^{}{A_n}=\begin{Bmatrix} A\subset X ; \; il \; existe\; n\geq 0 \; tel \; que \; A\in A_n \end{Bmatrix} est une algèbre de Boole sur X.

(b)Pour tout n0, soit An la tribu engendrée par la classe
E_n=\begin{Bmatrix} \begin{Bmatrix} 0 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} 1 \end{Bmatrix} , \begin{matrix} .........., \begin{Bmatrix} 2n \end{Bmatrix} \end{matrix} \end{Bmatrix}
Vérifier que (An)n0 est une suite croissante sur mais que
\bigcup_{n\geq 0}^{}{A_n}=\begin{Bmatrix} A\subset N ; \; il \; existe \; n\geq 0\; tel\; que\; A\in A_n \end{Bmatrix} n'est pas une tribu

(a) : n, An est une algèbre de Boole donc An, donc,
\bigcup_{n\geq 0}^{}{A_n}

Soit A\in \bigcup_{n\geq 0}^{}{A_n}
i : AAi or Ai est une algèbre de Boole donc,
X\backslash A \in \bigcup_{n\geq 0}^{}{A_n}

Soient A,B\in \bigcup_{n\geq 0}^{}{A_n}
(i,j)²:A\in A_i,B\in A_j
d'où A\bigcup{B}\in A_i\bigcup{A_j}\subset \bigcup_{n\geq 0}^{}{A_n}

donc l'union des An est une algèbre de Boole.

(b) : n, EnEn+1 donc,
(En)(En+1)

d'où An An+1
C'est là qu'arrive mon problème (si je n'ai pas fait d'erreurs avant) :
J'ai l'impression de réussir sans problème à montrer que \bigcup_{n\geq 0}^{}{A_n} est une tribu (par l'absurde (je ne trouve pas d'absurdité)). Il y a surement un problème dans mon raisonnement.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
XZ19re : Algèbres de Boole et Tribus engendrées 06-10-20 à 09:42

Bonjour
Penses-tu que \N \in \cup A_n ?  

Posté par
GBZMre : Algèbres de Boole et Tribus engendrées 06-10-20 à 12:15

Bonjour,

Je pense que \mathbb N appartient à chaque A_n. Par contre, on peut se poser la question pour 2 \mathbb N.

Posté par
XZ19re : Algèbres de Boole et Tribus engendrées 06-10-20 à 13:00

Il y a un problème d'interprétation
par  exemple  E_1=\lbrace \lbrace 0\rbrace ,\lbrace 1\rbrace, \lbrace  2\rbrace \rbrace

J'aurai pensé que  A_1=\sigma (E_1)  =\lbrace  \lbrace  \rbrace,\lbrace 0  \rbrace, \lbrace 1 \rbrace, \lbrace  2\rbrace,\lbrace 0 ,1   \rbrace,\lbrace 0 ,2 \rbrace , \lbrace  1,2  \rbrace ,\lbrace  0,1,2  \rbrace  \rbrace

Posté par
GBZMre : Algèbres de Boole et Tribus engendrées 06-10-20 à 13:40

Il me semble clair qu'il s'agit d'une suite croissante de tribus sur un même ensemble, à savoir \mathbb N (en parallèle avec la question a)).


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