bonsoir

1) quelle analyse as-tu commencé?
quelles sont tes premières recherches ?

2) je n'ai pas encore trouvé

Bonjour,
Ceci peut aider pour 2) :

bonjour Sylvieg
oui, pour la démo par récurrence, c'est bien ça ? (je viens de la terminer).
si tu penses à une autre méthode, tu pourras prendre la main sur cette question ? merci.

Oui, c'est ça
Non, je ne pense pas à une autre méthode. _{** Sylvieg edit : Mais mathafou si **}
Je te laisse donc attendre que christophe13 réponde.

ah super !
n'hésite pas à intervenir si je m'absente.

Aïe !
Le profil de christophe13 n'est pas à jour

@christophe13,
Mets à jour ton profil s'il te plait. Tu n'es plus en 1ère.

malou edit > dès que tu mets ton profil à jour, on déverrouille ton sujet (tu peux mettre un message "signaler un problème" pour le demander si on ne le voit pas

sujet deverrouillé, les échanges peuvent reprendre

Bonjour,
mon commentaire sur l'usage des nombres complexes pour la question 2 :
c'est en fait une formulation différente pour dire la même chose que l'identité de Brahmagupta citée dans le lien de Sylvieg
mon commentaire visait juste le changement de titre.

je vous laisse poursuivre selon le travail que fera christophe13...

Bonsoir,
Pour la question n°1: je suis un peu nul en programmation du coup je ne sais pas comment débuter.

Pour la question n°2:  je ne sais pas quelle propriété Pn faut démontrer par récurrence.

si tu as un peu oublié le principe de l'algorithmique, je te propose de lire
cette fiche [lien]
ainsi que les autres sur la même section.
l'algorithme que l'on te demande n'est pas très facile, donc connaitre les bases.

mais le vrai travail commence par la réflexion (papier et crayon) :
si tu devais rechercher si N peut s'écrire sous la forme a²+b²  (entiers naturels)
que ferais-tu ?

essaie pour les premiers entiers naturels
que trouves-tu ?

2) Démontrer que si N est somme de deux carrés, alors pour tout entier naturel p>=1, N^p est somme de deux carrés.

ici, N est connu, déterminé;  l'indice qui change est p.
donc, en gardant cette notation, la proposition à démontrer serait P(p) .

la fiche d'introduction est plutôt celle-ci L'algorithmique, c'est quoi ...

l'autre lien, c'est pour les boucles et les tests.

Je suis un peu perdu, mais l'idée c'est que (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 ??

tu es à la question 2 ) ?
si oui, en effet, tu peux l'utiliser.
mais avant de jeter ça au milieu de nulle part, il faut construire ta démo ^^

Oui je suis à la question 2:
Pour un entier p>=1, on considère la propriété Pp:" (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 " que l'on va démontrer par récurrence.
1) Initialisation: p=1
On prouve que P1 est vraie
(1^2+1^2)+(1^2+1^2)=(1*1-1*1)^2+(1*1+1*1)^2
2+2=2^2
Ainsi P1 est vraie.
2) Hérédité:
On considère que Pp est vraie c'est-à-dire (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 (H.R)
On cherche à prouver que Pp+1 est vraie (Je ne sais pas comment continuer)
-----
3) P1 est vraie et Pp est héréditaire donc d'après le principe de récurrence pour tout entier p>=1, (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2.
C'est ça ? Je suis un peu perplexe ..

tu n'y es pas
tu ne dois pas démontrer l'identité de Brahmagupta.

quelle est la proposition P(p) relative à ton exercice ?

2) Démontrer que si N est somme de deux carrés, alors pour tout entier naturel p>=1, N^p est somme de deux carrés.

P(p)  : ....?

Pp:"N=N^p" c'est ça??

la proposition P(p) à démontrer est
"si N est somme de deux carrés, alors pour tout entier naturel p>=1, N^p est somme de deux carrés."

en posant
a,
b,
N,

la proposition devient
P(p) :  p, p 1,     si N=a²+b² alors N^p est la somme de deux carrés

comment peux-tu traduire la partie bleue ?

J'ai compris ça: si N=a^2+b^2 alors N^p=c^2+d^2

c'est ça

donc à démontrer par récurrence

P(p) :  p, p 1,     si N=a²+b²     alors c', d', tels que N^p = c'²+d'²

comment tu vas écrire P(p+1) ?

oubli les 'primes' sur P(p)...

P(p) :  p, p 1,     si N=a²+b²     alors c, d, tels que N^p = c²+d²

Pour P(p+1): p+1>=1,   si N+1=a²+b²+1     alors c, d, tels que Np+1 = c²+d²+1 ?? ça me paraît étrange..

J'ai oublié l'exposant,
Pour P(p+1): p+1>=1,   si N+1=a²+b²+1  alors c, d, tels que N^p+1 = c²+d²+1 ?? ça me paraît étrange..

seul p devient p+1

N^p+1 = c²+d²+1
si tu rajoutes +1 ici, tu n'as plus la somme de 2 carrés

P(p+1) :  si N=a²+b²     alors c', d', tels que N^p+1 = c'²+d'²

... il existe (au moins un) c ' et d ' tels que N^p+1 s'écrive sous la forme  c'²+d'²

d'accord?
à toi !

Pour un entier p>=1, on considère la propriété P(p):" si N=a²+b² alors c, d, tels que N^p = c²+d² " que l'on va démontrer par récurrence.

1) Initialisation: p=1
On prouve que P1 est vraie
N=a²+b² alors c,d tels que N^1=( c²+d² )^1
Ainsi P1 est vraie.

2) Hérédité:
On considère que P(p) est vraie c'est-à-dire que si N=a²+b² alors N^p = c²+d²  (H.R)
On cherche à prouver que P(p+1) est vraie c'est-à-dire que si N=a²+b² alors c', d', tels que N(p+1) = c'²+d'²
si N=a²+b² alors N^p =c²+d²
Ainsi si N=(a-ib)(a+ib) alors N^p= (c'-id')(c'+id')
Donc N=a²+b² alors N^p=c'²+d'²
Donc P(n+1) est vraie

3) P1 est vraie et Pp est héréditaire donc d'après le principe de récurrence pour tout entier p>=1,  si N=a²+b² alors c, d, tels que N^p = c²+d²

L'étape de l'hérédité est complexe en espérant avoir juste..

Attention carita de ne pas mettre du "p" dans la définition de P(p).
Je propose :
N est un entier donné tel que N = a² + b² avec a et b entiers.
Pour tout p de , on définit P(p) par
c, d, tels que N^p = c²+d²

1) Initialisation: p=1
On prouve que P1 est vraie
N=a²+b²
N^1 =(a²+b²)^1 = a²+b²
c = a
d=b
P1 est vraie.

note : "alors c,d " ne veut rien dire
c'est "il existe c, il existe d, tels que"...

2) hérédité
Ainsi si N=(a-ib)(a+ib) alors N^p= (c'-id')(c'+id')
Donc N=a²+b² alors N^p=c'²+d'²   

@mathafou si vous souhaitez prendre la main sur cette démo...

Sylvieg vu, merci

@christophe13,
Tu mélanges deux démonstrations possibles :
Par récurrence en utilisant l'identité de Brahmagupta.
Ou
En utilisant les complexes. Sans récurrence si on connait la formule du binôme.

Comment justifies-tu ceci :

Je ne vois pas comment fait-on pour passer de p(p) à p(p+1):
N=a²+b² et N^p=c²+d²
......
......
N=a²+b² et N^p=c²+d²

J'ai oublié les "primes"
Je ne vois pas comment fait-on pour passer de p(p) à p(p+1):
N=a²+b² et N^p=c²+d²
......
......
N=a²+b² et N^p=c'²+d'²

comment passe-t-on de t^p à t^p+1   ?

Je suis perdu là

On avance d'un rang pour passer de t^p à t^p+1??

comment passe-t-on de 2³ à 2⁴  

On multiplie par deux pour passer de 2^3 à 2^4

ben oui ! tu le sais, ça

de la même façon  t^p+1 = t^p * ...?

allez à toi maintenant

Donc: t^p+1 = t^p *t

oui

Cela revient à faire:
N^p*N = (c²+d²)(a²+b²) ??

oui
en rédigeant correctement sur ta copie

je reviens plus tard.
si un intervenant peut prendre le relais pour la 2)...

Mais du coup que vient faire c'²+d'² ??

le problème est le flou dans la rédaction de ce qui a été fait jusqu'ici .

hypothèse P(p) : N = a²+b² et N^p = c²+d²
(sous entendu il existe a, b, c, d entiers tels que ...)

à démontrer que avec cette hypothèse on aura au rang p+1
P(p+1) : N^(p+1) = c'²+d'² (il existe c' et d' entiers tels que ...)
et bien entendu N = a²+b² inchangé

quant à l'initialisation... il faut voir la 1ère question qui permettra de voir que selon les valeurs de N^1 = N est ou pas somme de deux carrés.

Pour un entier p>=1, on considère la propriété P(p):" si N=a²+b² alors c, d, tels que N^p = c²+d² " que l'on va démontrer par récurrence.

1) Initialisation: p=1
On prouve que P1 est vraie
N=a²+b²
N^1=( c²+d² )^1
a=c
b=d
Ainsi P1 est vraie.

2) Hérédité:
On considère que P(p) est vraie c'est-à-dire que si N=a²+b² alors N^p = c²+d²  (H.R)
On cherche à prouver que P(p+1) est vraie c'est-à-dire que si N=a²+b² alors c', d', tels que N(p+1) = c'²+d'²
N=a²+b² et N^p =c²+d²
Ainsi N=a²+b² alors N^p*N= (c²+d²)*(a²+b²)
Donc N=a²+b² alors N^p=c'²+d'²
Donc P(n+1) est vraie

3) P1 est vraie et Pp est héréditaire donc d'après le principe de récurrence pour tout entier p>=1,  si N=a²+b² alors c, d, tels que N^p = c²+d²

Je sais pas si je vais m'en sortir avec l'hérédité...

Démonstration de l'identité de Brahmagupta:
(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=a^2c^2-2acbd+b^2d^2+a^2d^2+2adbc+b^2c^2
                                                = a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2
                                                =(a^2+b^2)(c^2+d^2)
C'est bien ça ??

Tu ne démontres rien dans l'hérédité.
Où utilises -tu l'identité de Brahmagupta ?

Soit N un entier naturel tel que N=a²+b² avec a et b entiers naturels.
Pour un entier p>=1, on considère la propriété P(p):" Il existe c et d entiers naturels tels que N^p = c²+d² ".

1) Initialisation : OK

2) On considère que P(p) est vraie pour un p de *, c'est-à-dire qu'il existe c et d entiers naturels tels que N^p = c²+d² (H.R)
On cherche à prouver que P(p+1) est vraie c'est-à-dire qu'il existe c' et d' entiers naturels tels que N^p+1 = c'²+d'².
N^p+1 = NN^p = (a²+b²)(c²+d²)

C'est là qu'il faut utiliser l'identité pour faire apparaître c' et d'.

On cherche à prouver que P^(p+1) est vraie c'est-à-dire qu'il existe c' et d' entiers naturels tels que N^p+1 = c'^2+d'^2.
N^p+1 = N*N^p = (a^2+b^2)(c^2+d^2)
(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=a^2c^2-2acbd+b^2d^2+a^2d^2+2adbc+b^2c^2
                                                = a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2
                                                =(a^2-b^2)(c'^2+d'^2)
Ainsi p^p+1 est vraie
C'est bien ça ?

...  = a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2   jusque-là, oui
...=(a^2-b^2)(c'^2+d'^2)   
d'où provient ce signe - ?
et c' et d ' ? comment tu les justifies ?

pour finaliser tu devrais arriver à  (a^2+b^2)(c^2+d^2)

----

mais, à mon avis, ça risque de ne pas passer, pour ton professeur.
l'identité de Brahmagupta n'est pas dans le cours,
donc tu dois la démontrer, mais dans l'autre sens.

i.e. partir de   (a²+b²)(c²+d²) pour arriver à (ac+bd)²+(ad-bc)²

piste pour démarrer :
développe (a²+b²)(c²+d²) = …..
tu obtiens 4 termes ; regroupe les 2 à deux (en observant ce à quoi tu dois arriver...).

rappel, au cas où :
A² + B² = (A+B)² - 2AB