Niveau terminale

Algorithme d'Euclide et PGCD

Posté par
Nijiro 01-05-21 à 16:21

Bonjour,

Soit (a;b) (*)².

1) On suppose dans cette question que $a\wedge b=1$
a. Montrer que si a+b est impair, alors: $(a^2+b^2)\wedge(a+b)=1$
b. Montrer que : $(a^2-ab+b^2)\wedge (a+b)\leq 3$

2)Montrer que:
a. $(a^2+b^2)\wedge(ab)=(a\wedge b)^2$
b. $a\wedge b=(a+b)\wedge (a\vee b)$
c. $(a\wedge b)+(a\vee b)=a+b\Leftrightarrow (a/b \text{ ou } b/a)$

Merci d'avance ^^.

Posté par re : Algorithme d'Euclide et PGCD 01-05-21 à 17:15

salut

et alors ?

$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$

Posté par re : Algorithme d'Euclide et PGCD 01-05-21 à 17:26

Si, j'ai commencé comme ça. J'ai substitué a+b par 2k+1 (k ^*) et ab par 2k' (k' ^*) le produit est pair car a et b sont de différente parité puisque leur somme est impaire.. Mais en fin de compte, je n'ai abouti à rien...

Posté par re : Algorithme d'Euclide et PGCD 01-05-21 à 18:14

posons $m = a + b$ et $n = a^2 + b^2$

si d divise m et n alors d divise m et 2ab

donc d divise 2bm - 2ab = 2b^2

et de même d divise 2a^2

Posté par re : Algorithme d'Euclide et PGCD 02-05-21 à 16:44

Salut!
Soit $d=(a^2+b^2)\wedge (a+b)$
$\Rightarrow \begin{cases} & d/a^2+b^2 \\ & d/a+b \end{cases} \\ \Rightarrow \begin{cases} & d/2ab \\ &d/a+b \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} & d/2b^2\\ &d/2a^2 \end{cases}\\ \Rightarrow d/2a^2\wedge 2b^2$

En effet, $a\wedge b=1\Leftrightarrow a^2\wedge b^2=1$
Par suite: $2a^2\wedge 2b^2=2(a^2\wedge b^2)=2$
Donc $d/2a^2\wedge 2b^2\Leftrightarrow d/2\Rightarrow d=1 \text{ ou }d=2$
$\text{ or: } d/a+b \text{ et a+b est impair, donc: } d=1$

Posté par re : Algorithme d'Euclide et PGCD 02-05-21 à 17:21

ça me semble bien ...

Posté par re : Algorithme d'Euclide et PGCD 08-05-21 à 15:19

Salut!

Pour 1.b:

$\text{Soit } d=(a^2-ab+b^2)\wedge (a+b)\\ \text{alors: } \begin{cases} & d/a^2-ab+b^2 \\ & d/a+b \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} & d/-3ab \\ & d/a+b \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} &d/3a(a+b)-3ab \\ & d/3b(a+b)-3ab \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} & d/3a^2 \\ & d/3b^2 \end{cases}\Rightarrow d/3(a^2\wedge b^2)\\ \text{Or: } a^2 \wedge b^2=1, \text{ donc: } d/3 \Rightarrow d\leq 3 \text{ (d est un élément de N)}$

Pour 2.a:
$\text{Je pose: } d= (a^2+b^2)\wedge ab \Rightarrow \begin{cases} &d/a^2+b^2 \\ & d/ab \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} & d/a(a^2+b^2)-ab\times b \\ & d/b(a^2+b^2)-ab\times a \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} & d/a^3 \\ &d/b^3 \end{cases}\Rightarrow d/a^3\wedge b^3\Rightarrow d/(a\wedge b)^3$

J'essaye de démontrer que $d/(a\wedge b)^2$ et que $(a\wedge b)^2/d$ pour conclure que $(a\wedge b)^2=d$ ...Mais j'obtiens la puissance 3 au lieu de 2..J'essaye de figurer une combinaison linéaire qui me donne le résultat souhaité, mais en vain.

Et désolée, je me suis chargée de résoudre d'autres exo et j'ai oublié celui-là, je viens de m'en souvenir ce matin..
Merci d'avance.

Posté par re : Algorithme d'Euclide et PGCD 08-05-21 à 15:55

1/ ok

2/en français ça a tellement plus de sens !!!

on te demande pgcd (a^2 + b^2, ab) = [pgcd (a, b)]^2

il faut donc évidemment introduire le pgcd d de a et b ...

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