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analyse:2 petis exercices

Posté par
robby3 15-12-06 à 18:38

Bnojour à tous, j'aurais besoin d'aide sur les deux exercices que voici:
I)Soit \rm f(x,y)=\frac{cos x- cos y}{x-y} pour tout (x,y)\rm (x,x) dasn R^2.Montrer que l'on peut définir explicitementf(x,x)\rm pour tout reel x de telle maniere que f soit prolongeable\rm par continuite sur R^2

II)Soit \rm f:R x ]0,+oo[->R définie par f(x,y)=y^x.
\rm a) ùontrer que f est de classe C^(oo)
\rm b) Donner le DL de f à l'ordre 2 au voisinage de (1,1)

Merci d'avance de votre aide,toute suggestion ou idée sera la bienvenue.

Posté par
raymond Correcteuranalyse:2 petis exercices 15-12-06 à 18:45

Bonsoir.

Pour f(x,y), applique la formule :

2$\textrm cos(p) - cos(q) = -2sin(\frac{p+q}{2}).sin(\frac{p-q}{2}

A plus RR.

Posté par
robby3analyse:2 petis exercices 15-12-06 à 19:36

salut Raymond, merci de ta réponse, si j'apllique ta forule, j'ai \rm cos(x)-cos(y)=-2\frac{sin(x+y}{2}.\frac{sin(x-y}{2}
Mais le probleme pour x=y demeure au dénominateur...puisque f(x,x)=((cos(x)-cos(y))/(x-y)...
Je vois pas trop ce que je fais avec la formule,en l'appliquant je vois pas.

Posté par
robby3analyse:2 petis exercices 15-12-06 à 19:38

dsl pour les problemes que j'ai en latex,lol,c'est ((sin((x+y)/2))*(sin((x-y)/2))...
dsl je dois m'absenter, je serais présent demain...Merci encore.

Posté par
robby3analyse:2 petis exercices 16-12-06 à 11:53

me revoila, donc oui en utilisant la formule de Raymond,je ne vois pas comment résoudre le probleme de mon dénominateur...en x-y qui va valloir 0 quand x=y...
Merci d'avance de votre aide.
Pour l'exercice IIa) est ce que je peux dire que f est de classe C infini par composé de fonction C infini??!!

Posté par
fusionfroidere : analyse:2 petis exercices 16-12-06 à 12:26

Salut

Tu es en L3 ?

Qu'est-ce qui te pose problème dans le DL ?

Posté par
robby3re : analyse:2 petis exercices 16-12-06 à 12:42

non je suis en L2 et le DL a deux variables, j'ai pas vu dans le cours encore donc je sais pas trop,j'ai peur d'écrire des betises...donc je prefere demander.
Merci de votre aide.

Posté par
fusionfroidere : analyse:2 petis exercices 16-12-06 à 12:52

Comme les dérivées partielles ne sont pas très dures à calculer, tu peux appliquer cette formule :

3$\rm f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+h\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)+k\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)+\frac{1}{2}(h^2\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)+2hk\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)+k^2\frac{\partial^2f}{\partial y^2}(x_0+\theta h,y_0+\theta k))

avec 3$\rm 0<\theta<1

Posté par
fusionfroidere : analyse:2 petis exercices 16-12-06 à 12:54

Mince je t'ai mis le développement de Taylor à l'ordre 2 !

Je recommence

Posté par
fusionfroidere : analyse:2 petis exercices 16-12-06 à 12:55

Bah c'est pareil sauf qu'à la fin tu auras du 4$||x^2+y^2||\epsilon(x,y)

Posté par
robby3re : analyse:2 petis exercices 16-12-06 à 12:59

ok d'accord, merci, alors si je fais ça, j'ai:
f(1,1)=1, mais j'ai une question quand je dérive par rapport à x,on considere y comme une constante...donc ça vaut 0 non?
et quand on dérive par rapport à y,j'ai bien \rm xy^{x-1}?? puis pour la derivee seconde,ca nous fait x(x-1)y^{x-2}??
Merci de ton aide,est ce que ce j'écris c'est correct??

Posté par
fusionfroidere : analyse:2 petis exercices 16-12-06 à 13:01

Je trouve que :

3$y^x=1+y+xy+||x^2+y^2||\epsilon(x,y)

Sauf erreurs.

Posté par
robby3re : analyse:2 petis exercices 16-12-06 à 13:04

oula attend la j'ai pas tout saisi, ils sont passés ou les h et k, et est ce que tu peuc m'expliquer le calcul de la dérivée partielle de f par rapport à x et par rapport à y...s'il te plait.
Merci encore.

Posté par
fusionfroidere : analyse:2 petis exercices 16-12-06 à 13:04

On a :

4$\frac{\partial f}{\partial x}=y^xln(y)

4$\frac{\partial f}{\partial y}=xy^{x-1}

4$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=y^xln^2(y)

4$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{y^x(x-1)}{y^2}

4$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{y^x(xln(y)+1)}{y}

Posté par
fusionfroidere : analyse:2 petis exercices 16-12-06 à 13:05

Citation :
oula attend la j'ai pas tout saisi, ils sont passés ou les h et k,


J'ai pris h=x et y=k

C'est de ma faute, remplace les dans ma formule

Posté par
robby3re : analyse:2 petis exercices 16-12-06 à 13:09

je suis d'accord pour la 2eme mais les autres je vois pas du tout, pour quoi si on dérive \rm y^x par rapport a x on a du y^x ln(y)?,aprés la dérivée seconde de f par rapport à y...je vois mais alors pas du tout...

Posté par
fusionfroidere : analyse:2 petis exercices 16-12-06 à 13:13

N'oublie pas que 3$y^x=exp(xln(y))

Posté par
robby3re : analyse:2 petis exercices 16-12-06 à 13:17

ahhh ouéééééééééé!!!! bien vu,lol, oui j'avais completement zappé ce truc la...merci bien,ça veut mieux d'un coup la lol,merci encore et dsl pour mes questions "idiotes"...
merci et si ta une idée pour le I) lol je suis preneur,je pense, que Raymond avait une petite idée derriere la tete avec sa formule, mais je vois pas.
Merci encore et à bientot sur l'ile,bon Week end.

Posté par
fusionfroidere : analyse:2 petis exercices 16-12-06 à 13:18

Mais de rien

Pour la I, je ne vois pas encore bien.

SI je trouve je te tiens au courant

A+

Posté par
robby3re : analyse:2 petis exercices 16-12-06 à 13:20

merci encore et bon aprés midi.++

Posté par
raymond Correcteurre : analyse:2 petis exercices 16-12-06 à 13:39

Bonjour.

Tu sais que :

3$\textrm\lim_{h\to{0}}\frac{sin(h)}{h} = 1.

En prenant x - y = h ...

A plus RR.

Posté par
robby3re : analyse:2 petis exercices 16-12-06 à 13:50

Bonjour Raymond,si j'ai bien compris ce que tu m'a dis, j'ai:\rm f(x,x)=-2sin(x). \frac{sin(h/2)}{h} cad f(x,x)=-2sin(x)
si je prolonge f par f(x,x)=-2sin(x) alors f sera continue sur R².C'est bien ça Raymond?
Merci de ta réponse.

Posté par
robby3re : analyse:2 petis exercices 16-12-06 à 13:53

parce que la limite lorsque h->0 <=> x->y donc \rm lim (\frac{sin(h/2)}{h})=lim(\frac{sin(h)}{h})=1...d'ou le résultat.Est-ce correct??

Posté par
raymond Correcteurre : analyse:2 petis exercices 16-12-06 à 17:46

Bonsoir.

3$\textrm f(x,y) = \frac{-2sin((x+y)/2)sin((x-y)/2)}{x-y}

3$\textrm f(x,y) = \frac{sin(\frac{x-y}{2})}{\frac{x-y}{2}}\times{-sin(\frac{x+y}{2})}

Je pose donc : f(x,x) = - sin(x).

A plus RR.


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