L'intégrale à calucler est

Je ne vois pas comment on gère le log ?

J'ai oublié le dx

Donc les pôles sont -2 qui est simples et -1 qui est triple

salut fusionfroide

si je me souviens bien, il faut considérer une détermination du logarithme et intégrer sur un lacet de ce genre pour appliquer le théorème des résidus :



Kaiser

attends, je crois que j'ai dit une bêtise !

Kaiser

re

ça m'embêtait de laisser sombrer ce topic donc je le remonte.
Finalement, l'idée précédente marche (j'ai fait les calculs moi-même aujourd'hui et ça a l'air d'être ça car j'ai vérifié avec ma calculatrice ) donc si tu veux qu'on regarde ça, aucun souci.
Seulement, je te préviens : le calcul de résidu risque d'être un peu moche.
Mais bon, je pense que la méthode pour calculer ce genre d'intégrale est importante à connaitre.

Kaiser

Re kaiser

Voici le lacet que j'ai pris :

J'ai pris comme rayon du petit demi-cercle 1/R, et comme rayon du grand demi-cercle R

Ensuite, sur la branche supérieure, on a log(z)=log(x) et sur la branche inférieure on a log(z)=log(x)+2iPi

Qu'en penses-tu ?

le problème est que tu va devoir déterminer explicitement l'argument des complexes qui se trouvent sur les lignes horizontales.
L'idéal est de prendre ces segments inclinés d'un certain angle que l'on fera tendre vers 0 : voir mon message posté le 06/05/2007 à 19:19

Kaiser

ok bon ce soir je suis un peu occupé avec d'autres exos (comme tu as pu le voir) et si tu veux on le traitera en fin de semaine ?

Partiels obligent

pas de problème (de toutes façons, la méthode est un peu compliquée car la fonction que l'on va intégrer n'est pas celle à laquelle on pourrait penser).

Kaiser

Ok j'ai encore une question cependant !

Imaginons que l'on trouve un résultat qui semble correct en intégrant sur ce lacet et imaginons que l'on calcule l'intégrale sur un autre lacet, différent du premier.

Pourquoi les deux résulats seront égaux ?

J'ai du mal à me le représenter...merci

Si les lacets ne sont pas trop "différents" (c'est-à-dire englobe tous les résidus, et ne font pas plusieurs fois le tour) alors ces lacets seront homotopes.

Kaiser

Voilà d'où vient mon incompréhension : je n'ai pas vu ce qu'était l'homotopie !

Tant pis !

Je vais me renseigner un peu

En gros, l'homotopie c'est la chose suivante : deux lacets sont homotopes (au sens des lacets) dans un certain ensemble U si on peut déformer l'un en l'autre de manière continue tout en restant dans l'ensemble.
Je pense qu'il y a tout de même un rapport avec la notion de cycle homologue que tu as déjà vu.
Sinon, si tu n'as pas vu ce qu'était qu'une homotopie comment est défini un ensemble simplement connexe dans ton cours ?

Kaiser

Voilà comment on l'a vu :

U est simplement connexe si U est connexe et si tout lacet gamma est homologue à 0 dans U

que signifie déjà homologue ?

Kaiser

2 lacets sont dits homologues dans U si pour tout z dans C\U, ind_(lacet1)(z)=ind_(lacet2)(z)

OK !

Kaiser

Dans tous les livres que j'ai pu voir, a notion d'homologie n'est jamais abordée, mais celle d'homotopie oui

Kaiser