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Analyse complexe - Intégrale sur un contour

Posté par
LeK90 11-09-23 à 16:09

Bonjour,

Voici mon exercice :

Citation :
Calculer \displaystyle\int_{\Gamma_1} \frac{e^z}{z-2}dz et  \int_{\Gamma_2} \frac{e^z}{z-2}dz
Avec \Gamma_1 le cercle centré en l'origine et de rayon 1 et \Gamma_2 celui centré en l'origine et de rayon 3. Tous deux parcourus dans le sens trigonométrique.


Voilà ce que j'ai fait :

La fonction z\mapsto \frac{e^z}{z-2} est holomorphe sur un voisinage de la région comprise entre \Gamma_1 et \Gamma_2 donc ces deux intégrales sont égales.

Par la formule de Cauchy, on a : e^2=\frac{1}{2i\pi}\int_{\Gamma_2} \frac{e^z}{z-2}dz donc les deux intégrales valent finalement 2i\pi e^2.

Pourriez-vous me dire si mon travail est correct s'il vous plaît ?

Merci d'avance

Posté par
etniopalre : Analyse complexe - Intégrale sur un contour 11-09-23 à 16:23

     l'application  f de   \ 2 vers définie par  
f(z) :;= exp(z)/(z - 2) est holomorphe .

  2 est intérieur au circuit 2 mais extérieur au circuit 1 .

Posté par
GBZMre : Analyse complexe - Intégrale sur un contour 11-09-23 à 16:23

Bonjour,
Dis-moi, le pôle z=2 ne se situe-t-il pas dans la région entre les deux cercles ?

Posté par
LeK90re : Analyse complexe - Intégrale sur un contour 11-09-23 à 19:14

Bonjour à tous les deux,

Merci pour vos réponses.

- Est-ce qu'on est d'accord pour le calcul de la deuxième intégrale via la formule de Cauchy ?

- Concernant la première intégrale, je pensais que ce n'était pas gênant qu'il y ait une discontinuité à l'intérieur de la région entre les deux cercles : on peut trouver un voisinage qui la contourne, non ?
Je débute en analyse complexe donc excusez-moi si je dis des bêtises.

- Je ne vois pas comment calculer la première intégrale ? Dois-je paramétrer \Gamma_1 = \{e^{it},t\in[0,2\pi]\} ? Cela me semble donner une intégrale plus compliquée à calculer.

Posté par
LeK90re : Analyse complexe - Intégrale sur un contour 11-09-23 à 20:26

Re,

Désolé, je viens de saisir vos indications, la première intégrale est nulle, il n'y a pas de problème : la fonction est holomorphe et tout se passe bien, c'est bien ça ?

Merci encore !

Posté par
GBZMre : Analyse complexe - Intégrale sur un contour 11-09-23 à 21:36

Avec plaisir.
Voila, tu as vu qu'il faut faire attention à l'endroit où sont les pôles ou les singularités de le fonction. Dadans ? Dehors ?


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