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analyse complexe...pb de singularités
bonjour à toutes et à tous.
Je suis actuellement en plaine revision pour mais rattrapage de septembre et vu la météo ont est aussi bien à faire des maths...
Néanmoins j'ai un probleme pour identifier les singularités isolées de 3 fonctions
1) z²/(z+1)^3
2)exp(-1/(z-1)²)
3)(z^3+1)/(z^4-1)
pour la numeros 1) ont voit facilement que -1 est un pôle mais le numerateur me gene pour en determiner son degres
alors la numeros 2) je ne voit pas du tout il me semble que c'est une singularité essentielle mais je ne sais pas le montrer
et pour la 3 meme probleme -1 et 1 sont pole mais quel degres ??
voila si quelqu'un avait le temps de m'expliquer sur ces quelques points je l'en remerci d'avance .
Bonsoir elise141
1) le numérateur et le dénominateur sont des polynômes qui n'ont aucun facteur en commun donc ...
2) Essaie d'écrire de le développement de Laurent de cette fonction
3) essaie de simplifier la fraction au maximum.
Kaiser
J'oubliais :
pour la 3) : D'une part, l'un de tes pôle est faux et d'autre part, la fonction admet d'autres pôles.
Kaiser
" D'une part, l'un de tes pôle est faux et d'autre part, la fonction admet d'autres pôles "
de toute evidence g pas mal de mal a identifier les singularités merci des conseils je travaillerai dessu demain matin
encore merci
1) le numérateur et le dénominateur sont des polynômes qui n'ont aucun facteur en commun donc ...
de maniere geeneral peut t'on dire que lorsque le num et le denominateur ont aucun facteur en commun alors ont ne s'occupe que du denominateur, ainsi pour 1) -1 serai un pole d'ordre 3 ...a mon avis c pas sa
il me semble que pour determiner le degres du pole on factorise la fonction par (z-"pole")^p avec p qui sera le degres du pole lorsque la nouvelle fonction aura une limite fini ..
n'aije pas trop racontée de bétise ?
c'est sa que jaimerai bien quon me rééxplique.
1) si, c'est bien ça.
En effet, plus généralement, si tu as affaire à une fraction rationnelle irréductible, alors les poles de cette fonction sont les racines de Q et l'ordre d'un tel pole est tout simplement la multiplicité de la racine a dans le polynôme Q.
Ainsi, -1 est effectivement un pole d'ordre 3.
l me semble que pour determiner le degres du pole on factorise la fonction par (z-"pole")^p avec p qui sera le degres du pole lorsque la nouvelle fonction aura une limite fini ..
si par "factoriser", tu entends "factoriser le dénominateur", alors oui.
Cependant, cette définition ne te donne pas l'unicité d'un tel p.
En effet, il faut aussi que p soit minimal.
Voici un exemple pour bien comprendre :
Ici, tu es d'accord avec moi que le pole n'est pas d'ordre 3 ?
Pourtant avec ce que tu as dit, il le serait.
Comme dit au début de message, il faut d'abord rendre la fraction irréductible, donc on écrit
As-tu saisi ?
Kaiser
Bonjour.
Pour la question 2), on peut poser z = 1 + Z, puis voir ce qui se passe si Z = u réel et pour Z = i.v, v réel.
Sauf erreur, on trouve soit 0 soit l'infini. Ceci montre que 1 est une singularité essentielle.
A plus RR.
Pour la question 2), on peut poser z = 1 + Z, puis voir ce qui se passe si Z = u réel et pour Z = i.v, v réel.
Sauf erreur, on trouve soit 0 soit l'infini. Ceci montre que 1 est une singularité essentielle.
on a le droit de fair sa comme sa sans developer en serie de laurent pour montrer que c'est une singularité essentielle
D'un autre coté le développement en série de Laurent est trivial et donne directement la réponse...
ba je dit pas que le DSL est compliqué mais je ne voi pas en quoi il donne la reponse...
javous jai quelques lacune sur les singularités essentielles..
c la fin des vac fo se remete dedant ...
ttoff ou elise141 : il faut choisir ! 
Bref, je me permets de répondre à la place de raymond : en fait, dans ton cours, tu as du avoir 3 cas .
(on suppose que la fonction est défini autour du point considéré mais sans le point)
1er cas : fausse singularité (la fonction est prolongeable)
2e cas : on n'est pas dans le cas précédent et la fonction admet un développement de Laurent fini et donc en le point considéré, on peut écrire .
Ainsi, |f(z)| tend vers l'infini.
3è cas : tout ce qui reste (singularité essentielle).
raymond a en fait éliminé les cas 1 et 2 donc on est dans le cas 3.
Kaiser
Peut être devrais tu revoir ton cours et notamment le théorème de Casoratti-Weierstrass ou simplement la définition (suivant la définition que l'on a le théorème est une définition ou un théorème), parce qu'une fois que tu as le développement en série tu as ta réponse ...
Bonjour Kaiser et Otto.
Effectivement, mes limites pour Z réel puis pour Z imaginaire pûr éliminent les cas de singularité effaçable et de pôle. Donc ...
Otto : comment développerais-tu :
A plus RR.
Ici tout est fait pour que l'on ne puisse pas Raymond, mais comme je l'ai fait remarquer, on peut utiliser le théorème de Casorati-Weiestrass directement. 
Excuse moi otto, lorsque j'ai lu ton message de 16h 43 :
"D'un autre coté le développement en série de Laurent est trivial et donne directement la réponse..."
je croyais qu'il s'adressait à la fonction n°2.
D'où ma question ...
A plus RR.
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