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analyse complexe - Residus...

Posté par jerry24 (invité) 27-12-05 à 13:00

bonjour, j'ai un petit exo sur lequel je coince depuis 3 jrs, j'ai beau chercher mais en vain...
si quelqu'un pouvait m'aider ca serait tres sympa de sa part...

soit P et Q 2 polynomes tels que deg Q > deg P
1)Exprimer Res(P/Q) à l'aide des coefficients de P et Q.
2)Soit P(z)=z^n + 0n-1 akzk un polynome dont ttes les racines sont ds D(0,R).
Montrer que f(x)=1/(2i)R exz/P(z) dz est la solution de l'equation differentielle d'ordre n, y(n)+an-1y(n-1)+...+a0y=0 de condition initiale y(j)(0)=0 si j < n-1 et y(n-1)(0)=1.

Merci beaucoup par avance de votre aide

le site est vraiment super!

Posté par
kaiser Moderateurre : analyse complexe - Residus... 27-12-05 à 18:23

Bonsoir jerry24

Pour la 1), il faut écrire la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle \frac{P}{Q}.
On se rend compte alors que la limite de x\frac{P(x)}{Q(x)} quand x est réel et tend vers +, c'est justement \sum Res(\frac{P}{Q}).
Cette limite dépend des degrés de P et Q.
Si deg(Q)>deg(P)+1, alors cette limite est nulle, donc la somme des résidus est nulle.
Si deg(Q)=deg(P)+1, alors cette limite est égale au rapport du coefficient dominant de P par celui de Q, de même pour la somme des résidus.

Pour le 2), il faut utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégrale (après avoir expliciter son expression tant qu'intégrale entre 2 bornes) pour vérifier que f est solution de l'équation différentielle proposée.
Pour vérifier qu'elle vérifie les conditions initiales, il suffit d'appliquer la question 1) ainsi que le théorème des résidus.

Kaiser

Posté par jerry24 (invité)re : analyse complexe 27-12-05 à 19:47

merci bcp Kaiser c tres sympa de ta part de m'avoir repondu, ms j'ai pas tres bien compris ta reponse, desole pour la question 2 surtout...

Posté par
stokastikre : analyse complexe - Residus... 27-12-05 à 19:55


Moi je n'ai pas compris pourquoi la somme des résidus est cette limite quand x tend vers + l'infini.

Posté par
kaiser Moderateurre : analyse complexe - Residus... 27-12-05 à 19:59

En écrivant la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle, on voit que \frac{P}{Q}=\sum \T_{i}
où Ti est de la forme \sum \frac{a_{i,j}}{(X-\alpha _{i})^{j}}
Les résidus de la fraction rationnelle \frac{P}{Q} sont les \a{i,1}
Quand on multiplie Ti(x) par x et qu'on fait tendre x vers l'infini (en étant réel), on voit que ça tend vers ce résidu.
Donc le tout tend vers la somme des résidus.

Posté par
kaiser Moderateurre : analyse complexe - Residus... 27-12-05 à 20:59

Oula, je recommence parce que y'a encore eu un bug.
Au début, je voulais écrire que \frac{P}{Q}=\sum T_{i}
Autre chose : les résidus sont les a_{i,1}.
Le reste est correct.

J'espère avoir été moins flou sur cette question.

Posté par
kaiser Moderateurre : analyse complexe - Residus... 27-12-05 à 21:17

Pour la 2), il faut d'abord expliciter l'intégrale.

f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}(\frac{iRe^{i\theta}e^{xRe^{i\theta}}}{P(Re^{i\theta})})d\theta

Par le théorème de dérivation de sous le signe intégrale, on a que f est de classe C et que pour tout k, on a f^{(k)}(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}(\frac{i(Re^{i\theta})^{k+1}e^{xRe^{i\theta}}}{P(Re^{i\theta})})d\theta=\frac{1}{2\pi}\int_{\Gamma_{R}}\frac{z^{k}e^{xz}}{P(z)}dz
D'après le théorème des résidus,f^{(k)}(0) est égal à \sum Res(\frac{X^{k}}{P}). En effet, l'indice du lacet \Gamma_{R} par rapport à une racine quelconque de P est égal à 1.
D'après la question précédente, pour k
Kaiser

Posté par
stokastikre : analyse complexe - Residus... 27-12-05 à 21:50


Ok merci j'ai compris la 1)

Posté par jerry24 (invité)re: analyse complexe 01-01-06 à 17:05

bonjour...

merci bcp pour ta reponse Kaiser, merci aussi a stokastik pr ces questions mais je suis desole je n'ai tjs pas compris la reponse a la question 1), le devoir faisant 4 exos et c'est le dernier je sature grave. En plus, on n'a pas parlé en cours encore du theoreme des residus (un peu à labours... donc je galere avec les livres à essayer de comprendre ce theoreme...
si quelqu'un pouvait me reexpliquer ce que Kaiser a tenté de m'expliquer ou m'apporter son aide, je lui en serai tres reconnaissant...
merci bcp par avance

bonne année !

Posté par jerry24 (invité)re: analyse complexe 02-01-06 à 13:02

personne ne peut m'aider ?

Posté par
kaiser Moderateurre : analyse complexe - Residus... 02-01-06 à 14:04

Bonjour jerry24

Tout d'abord sais-tu ce qu'est une fonction méromorphe et ce qu'est un pôle ?

Kaiser

Posté par jerry24 (invité)re: analyse complese - residus 02-01-06 à 14:13

Bonjour Kaiser,

Un pole oui je pense c comme une racine de polynome et fonction meromorphe non je connais pas, je sais ce qu'est une fonction holomorphe c'est tout

sinon, j'ai retaffé sur ta reponse,si tu pouvais juste m'expliquer la decomposition que t'as fait dans la premiere question avec la somme des Ti et pourquoi t'as multiplié par x ?

merci bcp

a bientot...

Posté par
kaiser Moderateurre : analyse complexe - Residus... 02-01-06 à 14:19

Dans le cas qui nous intéresse les notions de pôle et racine de polyômes (ou plus exactement une racine du dénominateur d'une fraction rationnelle) coïncident.
Mais quand je parlais de pôle, je sous-entendais pôle d'une fontion méromorphe.
Ce qui est embêtant, c'est que tu ne sais pas ce qu'est une fonction méromorphe.
Avant de te parler de ça, je vais d'abord t'expliquer le début de la question 1).
tu as bien vu ce qu'était une décomposition en éléments simples ?
Tu sais qu'elle est automatiquement de cette forme ?

Kaiser

Posté par jerry24 (invité)re : analyse complexe - Residus... 02-01-06 à 14:35

pour tt te dire, je ne sais pas ce que c'est explicitement
en fait, je n'ai pas fait de premiere année de fac, j'ai eu une equivalence et suis passé directement du niveau de maths au bac à celui de 2e année, j'ai un peu galéré l'an dernier, je suis passé et j'essaye de rattraper mon retard petit à petit ms c pas simple...
decomposition c pas du type : P(X)= aiXi ?
si ca te derange, c pas grave je peux comprendre que ca soit trop long, je t'en voudrais pas, merci tt de meme pr ta patience

Posté par
kaiser Moderateurre : analyse complexe - Residus... 02-01-06 à 14:42

Quand je parlais de décomposition en éléments simples, c'était un truc en rapport avec les fractions rationnelles (le rapport de deux polynômes).

Regarde ici :
dans les rubriques "polynômes irréductibles" et "pôles et éléments simples".
J'espère que ça t'aidera.

Kaiser

Posté par jerry24 (invité)re:analyse complexe - residus... 02-01-06 à 15:30

merci bcp Kaiser,

pourrais tu juste me dire ds la decomposition ce que tu appelles les ai,j  et la difference entre a et ( c peut etre un pb de lecture a l'ecran), ne manque t-il pas uen somme car tu sommes sur les i et les j en meme temps non?

merci d'avance

Posté par
kaiser Moderateurre : analyse complexe - Residus... 02-01-06 à 15:38

Dans Ti, i est fixe et on ne somme que sur j.
Les ai,j sont des coefficients déterminés par la décomposition (ils existent et ils sont uniques d'après le théorème le théorème de décomposition en éléments simples).

Kaiser

Posté par jerry24 (invité)re : analyse complexe - Residus... 02-01-06 à 16:11

ok merci bcp Kaiser,
j'ai compris ce qu'etait la decomposition en elements simples, j'ai compris ce que t'as fait, seulement pourquoi multiplies tu par x le quotientP/Q ?
et il manque pas un i un moment ds la question 2 quand t'as reecrit l'integrale a la fin avec z de nouveau ...?

Posté par
kaiser Moderateurre : analyse complexe - Residus... 02-01-06 à 16:21

D'abord pourquoi ai-je multiplié par x ?
Ce que je voulais faire c'est faire tendre x vers l'infini.
Sans multiplier par x, j'aurais obtenu 0=0 ce qui ne nous avance pas trop.
considérons le terme \frac{a_{i,j}}{(x-\alpha_{i}^{j}}
Si on le multiplie par x et qu'on fait tendre x vers l'infini (en étant réel pour que ça ait un sens), la limite dépend de j.
Si j=1 alors ça tend vers a_{i,j}=a_{1,j}
si j>1, alors la limite est nulle.

Si on multiplie la décomposition par et qu'on fait tendre x vers l'infini la limite sera donc la somme des a_{1,j}.

Tu es bien d'accord avec moi ?

Posté par jerry24 (invité)re : analyse complexe - Residus... 02-01-06 à 16:23

oui tout a fait d'accord merci bcp !

Posté par
kaiser Moderateurre : analyse complexe - Residus... 02-01-06 à 16:28

Les résidus sont par définition les a_{1,j}, donc on peut conclure.

Oui, tu as raison : j'ai oublié un i dans la question 2).
Kaiser

Posté par jerry24 (invité)re : analyse complexe - Residus... 02-01-06 à 16:31

ok merci bcp pr ton aide Kaiser, c vmt vmt tres sympa de ta part, j'ai pas voulu plus t'embeter, j'avais une autre petite question mq aucun rapport avec cet exo donc je l'ai posté dans un autre topic...
merci merci merci pour TOUT.

j'espere un jr etre aussi calé en maths et pouvoir aider les gens comme tu viens de m'aider...

Bonne soiree

Posté par
kaiser Moderateurre : analyse complexe - Residus... 02-01-06 à 16:38

Mais je t'en prie !
Tu ne m'embêtes pas du tout !

Kaiser

Posté par jerry24 (invité)re : analyse complexe - Residus... 02-01-06 à 16:50

ben si t'as encore un peu de temps, j'abuse de ta patience encore un peu...

regarde le topic integrale complexe

merci


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