Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Analyse/continuité,limite

Posté par
helioss 30-12-23 à 00:37

Bonjour je n'arrive pas à faire mon exercice, merci de votre aide,


Soit f: ++
une fonction croissante. On suppose que :
n, f(n+1) - f(n)\leq \frac{1}{2^n}

Montrer que f admet une limite finie en +∞



J'avais pensé à faire:
|f(n+1) - f(n)|\leq \frac{1}{2^n}|n+1-n|
donc on peut penser au caractère lipschitzien ?

Car si on suppose que f admet une limite infinie en l'infini, alors f perd son caractère lipschitzien, absurde car on a montré qu'elle l'était.
Je ne suis pas du tout du tout sûr de mon raisonnement,
Merci de votre aide

Posté par
Zormuchere : Analyse/continuité,limite 30-12-23 à 02:14

Bonjour

Être lipschitzien ne garantit pas du tout une limite finie en +infini

Voilà ce que je te propose

Montrons que pour tout n, f(n) est borné (comme f est déjà croissante, cela garantira qu'elle a bien une limite finie)

Commence par remarquer que pour tout entier k, f(k) = f(0) + (f(1)-f(0)) + ... + (f(k)-f(k-1))

Posté par
Ulmierere : Analyse/continuité,limite 30-12-23 à 13:55

Pas besoin de montrer qu'elle est bornée, il s'agit simplement de dire qu'une certaine série à termes positifs converge parce que son terme général est majoré par celui d'une autre série, qu'on sait convergente

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Analyse/continuité,limite 30-12-23 à 19:24

Bonsoir

Soit \blue\Large\boxed{f:\mathbb R_+\to\mathbb R~~croissante}.

\bullet Pour tout \Large\boxed{x\in\mathbb R_+}, on a \Large\boxed{f(x)\leqslant f(\lfloor x\rfloor+1)=f(0)+\sum_{n=0}^{\lfloor x\rfloor}f(n+1)-f(n)}.

D'où \Large\boxed{\forall x\in\mathbb R_+~,~f(x)\leqslant f(0)+\sum_{n=0}^{\lfloor x\rfloor}\frac{1}{2^n}<f(0)+\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2^n}=f(0)+2}.

\bullet La fonction f étant croissante et majorée , le théorème de la limite monotone permet de conclure.

Posté par
heliossre : Analyse/continuité,limite 31-12-23 à 00:07

Waw! Merci beaucoup! J'y aurais jamais pensé

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Analyse/continuité,limite 31-12-23 à 17:07

C'est un plaisir helioss


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !