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Niveau Maths sup
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Analyse/continuité,limite

Posté par
helioss
30-12-23 à 00:37

Bonjour je n'arrive pas à faire mon exercice, merci de votre aide,


Soit  f: ++
une fonction croissante. On suppose que :
n, f(n+1) - f(n)\leq \frac{1}{2^n}

Montrer que f admet une limite finie en +∞



J'avais pensé à faire:
|f(n+1) - f(n)|\leq \frac{1}{2^n}|n+1-n|
donc on peut penser au caractère lipschitzien ?

Car si on suppose que f admet une limite infinie en l'infini, alors f perd son caractère lipschitzien, absurde car on a montré qu'elle l'était.
Je ne suis pas du tout du tout sûr de mon raisonnement,
Merci de votre aide

Posté par
Zormuche
re : Analyse/continuité,limite 30-12-23 à 02:14

Bonjour

Être lipschitzien ne garantit pas du tout une limite finie en +infini

Voilà ce que je te propose

Montrons que pour tout n, f(n) est borné (comme f est déjà croissante, cela garantira qu'elle a bien une limite finie)

Commence par remarquer que pour tout entier k, f(k) = f(0) + (f(1)-f(0)) + ... + (f(k)-f(k-1))

Posté par
Ulmiere
re : Analyse/continuité,limite 30-12-23 à 13:55

Pas besoin de montrer qu'elle est bornée, il s'agit simplement de dire qu'une certaine série à termes positifs converge parce que son terme général est majoré par celui d'une autre série, qu'on sait convergente

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Analyse/continuité,limite 30-12-23 à 19:24

Bonsoir

Soit \blue\Large\boxed{f:\mathbb R_+\to\mathbb R~~croissante}.

\bullet Pour tout \Large\boxed{x\in\mathbb R_+}, on a \Large\boxed{f(x)\leqslant f(\lfloor x\rfloor+1)=f(0)+\sum_{n=0}^{\lfloor x\rfloor}f(n+1)-f(n)}.

D'où \Large\boxed{\forall x\in\mathbb R_+~,~f(x)\leqslant f(0)+\sum_{n=0}^{\lfloor x\rfloor}\frac{1}{2^n}<f(0)+\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2^n}=f(0)+2}.

\bullet La fonction f étant croissante et majorée , le théorème de la limite monotone permet de conclure.

Posté par
helioss
re : Analyse/continuité,limite 31-12-23 à 00:07

Waw! Merci beaucoup! J'y aurais jamais pensé

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Analyse/continuité,limite 31-12-23 à 17:07

C'est un plaisir helioss



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