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Analyse convexe - éq. dans la def d'espaces "affinement libres"
Bonjour,
je souhaiterai avoir de l'aide pour résoudre un problème concernant la définition d'un espace P ⊆ E affinement libre :
(i) ∀x ∈ P, x ∉ Aff(P\{x}) (où Aff(A) est l'espace affine engendrée par A).
(ii) ∀x ∈ P, l'ensemble Px := {y-x, y dans P\{x}} est libre dans E.
(iii) Pour toute combinaison linéaires nulle d'éléments de P : Σλi*xi (où Σλi = 0), tout les coeff. xi sont nuls.
Je dois montrer l'équivalence entre ces trois assertions.
Meme si j'ai conscience que l'exercice est simple, j'ai beaucoup de mal à visualiser les différents objets, et je n'ai pour le moment aucune idée de raisonnement...
Merci d'avance pour votre aide !
Bonjour,
La première chose et de bien comprendre l'énoncé. Dans l'interprétation que tu nous donnes, tu oublies de dire que est un espace vectoriel et tu parles d'"espace" à propos de
alors que ton énoncé parle sûrement de sous-ensemble.
Ensuite, tu dois bien voir dans ton cours la définition d'"espace affine engendré" et les possibles caractérisations (peut-être en termes de barycentres ?). La démonstration des équivalences dépend des outils que tu as à ta disposition.
Enfin, un petit conseil : il peut être plus commode de démontrer l'équivalence des négations des trois propriétés. Par exemple, pour la troisième, la négation est "il existe une combinaison linéaire nulle d'éléments de dont la somme des coeffcients est nulle et qui a un coeffcient non nul".
Petit coup de pouce : on peut sans perte de généralité supposer que ce coefficient non nul est égal à 1.
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