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Analyse d'une fonction intégrale à bornes infinies

Posté par
MathsRaccoon 19-01-18 à 13:32

Bonjour,

Je cherche à étudier la dérivée et la convexité de la fonction suivante:

\phi (u)=g(u)+u(G(u)), u \in R

avec:   g(t)=(1/ \sqrt{2 \pi }) e^{k- t^{2}/2 }      et:   G(t)=\int_{- \infty} ^t {g(z)dz}  

La borne infinie me pose problème... Puis-je exprimer \phi (u) en me débarrassant de l'intégrale? Sinon, comment calculer la dérivée de la partie intégrale?

Merci,

Clément

Posté par
etniopalre : Analyse d'une fonction intégrale à bornes infinies 19-01-18 à 13:50

G est une primitive de g

Posté par
jsvdbre : Analyse d'une fonction intégrale à bornes infinies 19-01-18 à 13:52

Bonjour MathsRaccoon.
La fonction g est C^\infty sur \R donc en particulier continue.
De plus  G(t)=\int_{- \infty} ^t {g(z)dz} est bien définie pour tout t \in \R.
Donc d'après les théorèmes généraux, G' existe en tout point de \R et G'(x) = g(x)
Finalement \phi est gentiment deux fois dérivable et etc etc.

Posté par
MathsRaccoonre : Analyse d'une fonction intégrale à bornes infinies 19-01-18 à 23:14

Merci

Si les bornes avaient été des valeurs fixes réelles (a et b), aurais-je pu dire aussi que G'(x)=g(x)?

Posté par
Schtromphmolre : Analyse d'une fonction intégrale à bornes infinies 19-01-18 à 23:26

Bonsoir,

Bah du coup non car G(x) serait constante donc de dérivée nulle.


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