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Analyse de Fourier - Méthode de Calcul

Posté par
TomMaxL 21-04-15 à 11:18

Bonjour,

Je reviens vers vous car je suis bloqué sur un exercice.

J'ai réussi à montrer que

1 = \frac{2}{\lambda} (1-e^{- \frac{\lambda}{2}}) + 4 \lambda \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac {1-e^{- \frac{\lambda}{2}} (-1)^n} {\lambda^2 + 4 \pi^2 n^2}

On me demande ensuite de montrer que

1 = \frac{2}{\lambda} (e^{ \frac{\lambda}{2}} - 1) + 4 \lambda \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac {(-1)^n e^{ \frac{\lambda}{2}} -1} {\lambda^2 + 4 \pi^2 n^2}

Et en déduire que

\frac{1}{e^{\lambda} - e^{- \frac {\lambda}{2}}} = \frac{1}{\lambda} + 2 \lambda \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{(-1)^n}{\lambda^2 + 4 \pi^2 n^2}

Puis calculer

\lim_{\lambda\to \infty} \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{(-1)^n \lambda^2}{\lambda^2 + 4 \pi^2 n^2}

Je n'arrive pas à montrer la deuxième équation à partir de la première (peut être qu'il ne s'agit pas de faire cela), vous serait il possible de m'expliquer pas à pas cette résolution.
Pour le en déduire, j'ai essayé de diviser par le dénominateur, mais je ne trouve pas le résultat demandé, j'ai même essayé le raisonnement complexe en appliquant les méthodes de calcul type module, complémentaire si vous pouviez m'aider également la dessus.
Enfin pour le calcul de la limite, quelle raisonnement utiliser pour la trouver.

Je vous remercie très sincèrement d'avance pour l'aide que vous allez me porter.

Bien Cordialement

TomMaxL

PS: Pour plus d'efficacité, je reste sur cet exercice tout l'après midi, je pourrais donc être réactif et disponible pour vous répondre.

Posté par
francois5re : Analyse de Fourier - Méthode de Calcul 21-04-15 à 12:15

Salut, pour ta première question, as-tu une contrainte sur le signe de \lambda ? Parce qu'en remplaçant \lambda par -\lambda dans ta première équation, tu obtiens la seconde...

Posté par
TomMaxLre : Analyse de Fourier - Méthode de Calcul 21-04-15 à 12:29

Dans mon énoncé
Soit \lambda > 0,
h une fonction périodique de période 1
t \in \left[ - \frac{1}{2} ; \frac{1}{2} \right[
h(t) = e^{- \lambda |t|}

Voilà ce que je peux te dire, on en conclut donc que - \lambda > 0 dans ce cas là ?

Posté par
francois5re : Analyse de Fourier - Méthode de Calcul 21-04-15 à 12:45

Oui, comme tu as écrit la formule (1) pour \lambda >0, la formule (2) sera vraie pour \lambda <0

Posté par
TomMaxLre : Analyse de Fourier - Méthode de Calcul 21-04-15 à 12:52

Super Merci ! Ça m'avance pas mal pour ma rédaction.
Du coup concernant le "en déduire", quelle méthode de calcul utilisé à partir de la formule (2) pour trouver le résultat?
Il doit bien y avoir une méthode mais malgré mais différents essais je ne l'a voit pas ...

Posté par
TomMaxLre : Analyse de Fourier - Méthode de Calcul 23-04-15 à 09:38

Bonjour,

J'ai essayé de trouver une simplification, une factorisation, etc... bref sans succès
car quand je divise par e^{- \lambda} - e^{- \frac{\lambda}{2}} ça ne donne pas le résultat escompté.
Auriez vous la possibilité de m'indiquer le raisonnement à suivre pour trouver ce résultat.

Bien cordialement.

Lecoq Thomas

Posté par
francois5re : Analyse de Fourier - Méthode de Calcul 23-04-15 à 12:51

Salut, désolé du temps de réaction, mais je trouve aussi cet énoncé perturbant...
Es-tu certain de la formule (3) ?
Parce qu'on peut remarquer que si on ajoute (1) et (2), on obtient (3), à ceci près que le terme de gauche est \dfrac{1}{e^\frac{\lambda}{2}-e^{-\frac{\lambda}{2}}}.

Le problème est que ça n'a pas de sens d'ajouter ces équations, puisqu'elles sont valables dans des domaines disjoints (\lambda strictement positif/négatif).
Du coup, comment as-tu obtenu la première équation ? L'hypothèse \lambda >0 était-elle absolument nécessaire ?

Je n'ai pas tellement d'autres pistes... Peut-être quelque chose en rapport avec la formule sommatoire de Poisson (si ça te dit quelque chose...), mais je ne m'y connais pas assez dans ce domaine...

Concernant la limite, la (3) permet facilement de conclure. Tu dois juste exprimer la somme en fonction du reste, et la limite de ce "reste" est facile à obtenir.

Posté par
TomMaxLre : Analyse de Fourier - Méthode de Calcul 23-04-15 à 13:10

Bonjour,

La formule (3) après vérification est correcte, après je ne suis pas à l'abris qu'il y ait une coquille dans l'énoncé ...
La formule sommatoire de Poisson ne me dit absolument rien, et rien dans mon cours également, pareil au niveau de mes corrections d'exercices ...
Concernant la troisième équation, vu la formulation de l'énoncé je pensais qu'il fallait utiliser la seconde équation.
Ayant perdu toute logique mathématique je suis un peu perdu avec tout ça ...
Mais bon je me dis qu'avec de bons membres tels que vous, je devrais pouvoir surmonter tout ça.

Posté par
TomMaxLre : Analyse de Fourier - Méthode de Calcul 26-04-15 à 09:06

Effectivement, il y a bien une erreur dans l'énoncé pour la troisième équation, après confirmation de mon enseignant, du coups j'ai réussi à tout montrer.
Par contre je trouve une limite égale à 0. Est ce le bon résultat, à mon avis j'en doute, c'est pour cela que je viens vous demander confirmation ou non confirmation.

Bien cordialement

TomMaxL

Posté par
francois5re : Analyse de Fourier - Méthode de Calcul 26-04-15 à 11:22

Salut, l'équation (3) se réécrit sous la forme : \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\lambda^2+4\pi^2n^2}=\frac{1}{2\lambda} \left( \frac{1}{e^{\lambda/2}-e^{-\lambda/2}}-\frac{1}{\lambda} \right)

Par conséquent, en multipliant par \lambda^2, \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n \lambda^2}{\lambda^2+4\pi^2n^2}=\frac{\lambda}{2} \left( \frac{1}{e^{\lambda/2}-e^{-\lambda/2}}-\frac{1}{\lambda} \right) = \frac{\lambda}{2(e^{\lambda/2}-e^{-\lambda/2})}-\frac{1}{2} \underset{\lambda \rightarrow \infty}{\longrightarrow} - \frac{1}{2}

Posté par
TomMaxLre : Analyse de Fourier - Méthode de Calcul 26-04-15 à 11:44

Ah après vérification je viens de m'apercevoir que j'ai fait une erreur dans mes signes, puisque j'ai cherché à tout mettre sous le même dénominateur et du coups on va dire que je me suis un peu perdu avec les signes.
Je tenais à tous vous remercier pour l'aide que vous m'avez donné ces derniers jours, grâce à vous j'ai compris pas mal de chose qui me sont devenu instinctif maintenant.
Je penserais maintenant directement à vous quand je serais bloqué

Bonne continuation à vous et à bientôt !

TomMaxL

Posté par
francois5re : Analyse de Fourier - Méthode de Calcul 26-04-15 à 12:06

Merci, bonne continuation à toi aussi

Posté par
TomMaxLre : Analyse de Fourier - Méthode de Calcul 26-04-15 à 15:56

J'ai un autre petit soucis en rapport avec l'exercice ...

6) Trouver 3 réel a, b et c réalisant le minimum de :

\int_{- \frac{1}{2}} ^{\frac{1}{2}} | e^{- \lambda |t|} - a -b cos(2\pi t) - c sin(2\pi t) |^2

j'ai trouvé a, b et c

Par contre je bloque pour trouver la valeur du minimum, j'essaye d'utiliser l'égalité de Bessel-Parseval mais j'ai rien qui m'aide pour trouver ensuite le résultat pour la question suivante ...

7) On note m(\lambda) ce minimum. Montrer que :

\lim_{\lambda \to 0} \frac{m(\lambda)}{\lambda ^2} = \frac{1}{48} - \frac{2}{\pi ^4}

si j'arrive à trouver la valeur de ce minimum je pourrais trouver aisément la dernière question .

Je sais que le minimum vaut
|a_0(h)|^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1} ^{+\infty} |a_n(f)|^2 ...


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