Niveau école ingénieur

Analyse et coercivité

Posté par
VVictor33 31-08-22 à 11:14

Bonjour, dans cet exercice je dois montrer que la fonction : $a(u,u) = \int_{0}^{1}u'^2dx\geq \alpha \left\|u \right\|_{H^1}^2$ avec des hypothèses assez larges (on peut appliquer l'inégalité de Poincarré par ex.).
Pour rappel, la norme H est la suivante : $\left\|u \right\|^2_{H^1} = \int_{0}^{1}u^2dx + \int_{0}^{1}u'^2dx$

Dans la correction on commence par rappeler que :

$| u|^2 = |\int_{0}^{x}u'(s)ds|^2$

donc

$\int_{0}^{1}| u|^2 dx \leq \int_{0}^{1}|\int_{0}^{x}u'(s)ds|^2dx$

Ensuite on effectue des simplifications sur les intégrales que je ne comprend pas (peut être que la correction a été mal recopiée)

Le résultat final est le suivant :

$a(u,u) \geq \frac{1}{2} \left\|u \right\|^2_{H^1}$

Je comprends que l'on a rajouté $\int_{0}^{1}u'^2(x)ds$ des deux cotés de l'inégalité pour obtenir la norme H et le 1/2. Mais je ne comprends pas comment se débarrasser de l'intégrales de 0 à x et des valeurs absolues et comment faire passer le carré a l'intérieur de l'intégrale.

Posté par re : Analyse et coercivité 31-08-22 à 19:19

Bonjour VVictor33

Tu n'as pas précisé dans quel espace se trouve le $u$ ?

il me semble que l'inégalité à montrer est fausse si la fonction $u$ est constante sur $[0,1]$ _{sauf erreur de ma part bien entendu}

Posté par re : Analyse et coercivité 31-08-22 à 20:19

Je pense qu'il s'agit effectivement des fonctions $H^1$ de trace nulle.
Donc ici, telles que $u(0) = u(1) = 0$

Pour toute fonction lisse $u$ de trace nulle, on a effectivement $|u(x) - 0|^2 = \left|\int_0^x u'(t)dt\right|^2$

Donc, par Hölder (ou Cauchy-Schwarz), $|u(x)|^2 \leqslant x^2 \times \int_0^x |u'(t)|^2 \leqslant x^2 \lVert u'\lVert_{L^2}^2$

On intègre : $\lVert u\rVert_{L^2}^2 \leqslant \dfrac{1}{3} \lVert u'\lVert_{L^2}^2$

Et on ajoute $\lVert u'\lVert_{L^2}^2$ de chaque côté pour trouver que $\lVert u\lVert_{H_0^1}^2 \leqslant \dfrac43 a(u,u)$ .

Ce résultat est vrai pour toutes les fonctions $C^\infty$ sur $[0,1]$ nulles en 0 et 1, en particulier pour les polynômes
Donc aussi pour tout fonction $H^1_0$ par densité d'après le théorème de Weierstrass (ou plus simplement dans le cas présent : polynômes de Bernstein).

Posté par re : Analyse et coercivité 01-09-22 à 10:03

D'accord, merci beaucoup pour vos réponse. En effet, il s'agissait des fonctions $H^1$ . J'ai trouvé un cours avec ce problème comme exemple et les étapes sont les suivantes :

$a(u,u) = 1/2\int_{0}^{1}u'^2dx + 1/2\int_{0}^{1}u'^2dx \geq 1/2\int_{0}^{1}u'^2 + u^2 dx = 1/2\left\| u\right\|_{H^1}$

Cependant je ne comprends pas comment faire apparaître l'inégalité. Est ce un résultat/théorème ?

Posté par re : Analyse et coercivité 01-09-22 à 11:01

En fait ce résultat vient de la démonstration de l'inégalité de Poincaré qui sur un espace H(a,b) donne :

$\left\|u \right\|_{L^2}^2 \leq \frac{(b-a)^2}{2})\left\|u' \right\|_{L^2}^2$

Posté par re : Analyse et coercivité 01-09-22 à 11:28

Oui, si tu as déjà vu l'inégalité de Poincaré.

Mais attention

1) c'est bien $H^1_0$ et non simplement $H^1$ . Il faut que la fonction soit de trace nulle pour utiliser cette inégalité
2) elle n'est valable que sur un ouvert borné au moins sur un axe

On peut relaxer l'hypothèse de trace nulle grâce à l'inégalité de Poincaré-Wirtinger, qui est la même en remplaçant $\lVert u\rVert^2_{L^2}$ par $\lVert u - \tilde{u}\rVert^2_{L^2}$ , où $\tilde{u}$ est la valeur moyenne de $u$ sur l'ouvert où elle est définie.
Mais pour faire ça, il faut des hypothèses plus fortes sur ton ouvert. Par exemple borné à frontière lipschitzienne. Je crois aussi que ça forcément être un ensemble connexe, mais il faut vérifier.
En pratique tout se passe bien mais faut faire attention quand même à ne pas mélanger les deux

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

analyse en post-bac
24 fiches de mathématiques sur "analyse" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

Analyse et coercivité

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths