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Analyse et inégalités prépa

Posté par
TigerPop 27-09-22 à 17:57

Bonjour à tous, j'ai 3 inégalités à traiter, et deux d'entres elles me pose problème (en plus je passe au tableau).
Pour les deux, j'ai essayé de développer, de traiter cas par cas, mais j'arrive à des expressions qui sont franchement intraitables.
Par exemple, pour la première, j'ai essayé de faire le cas ou (a+b)/2 -sqrt(ab) est supérieur, mais j'obtiens une expression interminable composée de a² et de b²

** image supprimée **

* modération > Image effacée. Merci d'utiliser les outils mis à ta disposition pour écrire les formules mathématiques  > TigerPop,    lire Q10 [lien]*

Bonjour à tous, j'ai 3 inégalités à traiter, et deux d'entres elles me pose problème (en plus je passe au tableau).
Il faut prouver que pour tout a,b réel avec 0<a<=b on a :
\dfrac{1}{8}.\frac{(b-a)^2}{b}\leq \dfrac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\leq \dfrac{1}{8}.\frac{(b-a)^2}{a}

Et dans un second temps que si a,b,x,y sont des réels positifs non nuls avec a+b = 1 alors :
\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}\geq \dfrac{1}{ax+by}

Pour les deux, j'ai essayé de développer, de traiter cas par cas, mais j'arrive à des expressions qui sont franchement intraitables.
Par exemple, pour la première, j'ai essayé de faire le cas ou (a+b)/2 -sqrt(ab) est supérieur, mais j'obtiens une expression interminable composée de a² et de b²

modération > énoncé recopié et collé après coup, merci
plutôt utiliser \dfrac que \frac

Posté par
carpediemre : Analyse et inégalités prépa 27-09-22 à 18:18

salut

il faut écrire l'énoncé ...

tout nombre positif est le carré de sa racine carrée ...

b - a = \left( \sqrt b \right)^2 - \left( \sqrt a \right)^2

sinon poser t = a/b ou t = b/a peut être une idée ...

Posté par
ty59847re : Analyse et inégalités prépa 27-09-22 à 18:24

Pour la 1ère question, tu as 2 inconnues a et b, mais tu peux 'simplifier' en  introduisant une autre variable c=b/a .
Et tu remplaces donc b par ac.
Par exemple.
Et ça va déjà être un peu plus simple.

Pour la 2ème question, tu réduis au même dénominateur, tu te débarrasses de toutes ces fractions, et j'ai l'impression qu'on conclue assez vite, grâce à la propriété a+b=1.

Et stp.
Recopie les 2 équations. C'est utile pour l'outil de recherche.
Là, je vais me faire taper sur les doigts.

Posté par
larrechre : Analyse et inégalités prépa 27-09-22 à 18:27

Bonjour,

@TigerPop Tu devrais réécrire l'énoncé, sinon un modérateur va tout supprimer.

Pour la 1/ effectivement, une possibilité est de transformer l'écriture pour avoir à montrer un truc du genre
(...)2(...)2(...)2

Posté par
TigerPopre : Analyse et inégalités prépa 27-09-22 à 20:23

TigerPop @ 27-09-2022 à 17:57

Bonjour à tous, j'ai 3 inégalités à traiter, et deux d'entres elles me pose problème (en plus je passe au tableau).
Il faut prouver que pour tout a,b réel avec 0<a<=b on a :
\frac{1}{8}.\frac{(b-a)^2}{b}\leq \frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\leq \frac{1}{8}.\frac{(b-a)^2}{a}
Et dans un second temps que si a,b,x,y sont des réels positifs non nuls avec a+b = 1 alors :
\frac{a}{x}+\frac{b}{y}\geq \frac{1}{ax+by}

Pour les deux, j'ai essayé de développer, de traiter cas par cas, mais j'arrive à des expressions qui sont franchement intraitables.
Par exemple, pour la première, j'ai essayé de faire le cas ou (a+b)/2 -sqrt(ab) est supérieur, mais j'obtiens une expression interminable composée de a² et de b²

Posté par
carpediemre : Analyse et inégalités prépa 27-09-22 à 20:45

posons a = x^2 $ et $ b = y^2

alors la première inégalité s'écrit : \dfrac {(x + y)^2} {y^2} \le 4 \le \dfrac {(x + y)^2} {x^2}

mais ce 4 au milieu me gêne ...

Posté par
TigerPopre : Analyse et inégalités prépa 27-09-22 à 20:50

carpediem @ 27-09-2022 à 20:45

posons a = x^2 $ et $ b = y^2

alors la première inégalité s'écrit : \dfrac {(x + y)^2} {y^2} \le 4 \le \dfrac {(x + y)^2} {x^2}

mais ce 4 au milieu me gêne ...


J'ai réussi à trouver la 1 pour le terme du milieu supérieur au terme de gauche, c'était laborieux mais à la fin j'obtiens en posant c:= b/a
a.(\sqrt{c}-1)^2\geq 0
Ce qui est vrai

Posté par
carpediemre : Analyse et inégalités prépa 27-09-22 à 21:01

inutile de citer les msg !!

c'est ce que je t'avais proposé en deuxième option ...

mais si tu as fait une inégalité alors l'autre ce doit être quasiment la même chose ...

Posté par
larrechre : Analyse et inégalités prépa 27-09-22 à 21:07

Ce que je suggérais tout à l'heure. 1/ peut se mettre sous la forme

\left(\dfrac{b-a}{2\sqrt{b}}\right)^2 \leq (\sqrt{b}-\sqrt{a})^2\leq\left(\dfrac{b-a}{2\sqrt{a}}\right)^2

etc

Posté par
carpediemre : Analyse et inégalités prépa 27-09-22 à 21:10

ha ben non ce 4 ne me gène pas du tout ... puisque 4 = 22 ...

ça marche tout seul ...

Posté par
larrechre : Analyse et inégalités prépa 27-09-22 à 21:27

Pour le 2/, suivre la piste donnée par ty59847 .

Posté par
TigerPopre : Analyse et inégalités prépa 27-09-22 à 21:33

Oui la 2 était simple en fait merci beaucoup à tous !

Posté par
carpediemre : Analyse et inégalités prépa 28-09-22 à 09:41

juste pour finir avec mon changement de variable (qui ne sert qu'à s'éviter de se trimbaler des racines carrées) :

carpediem @ 27-09-2022 à 20:45

posons a = x^2 $ et $ b = y^2

alors la première inégalité s'écrit : \dfrac {(x + y)^2} {y^2} \le 4 \le \dfrac {(x + y)^2} {x^2}

(x + y)^2 - 4y^2 = (x - y)(x + 3y)

la règle des signes et l'ordre évident de x et y permet de conclure ...


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