salut

en tant que prof de math et ancien étudiant je n'ai jamais entendu parler de cette expression

ça doit être les math modernes !!!

en tant que prof de math et ancien étudiant je n'ai jamais entendu parler de cette expression
ça doit être les math modernes !!!
C'est plutôt la façon de les enseigner qui a fait disparaitre cette expression .
Bien qu'elle sente la poussière cette méthode est employée dans les problèmes de recherche qui se rencontre sous diverses formes , telles que :
1.Résoudre...
2.Trouver ...
3.Quel est le lieu des points qui...(si,si ça se dit encore !).

Trève de charabia : On se donne un ensemble X et une propriété P (portant sur les éléments de X) et soit à trouver l'ensemble S des x X qui vérifient P.
La partie analyse (ou "directe")consiste à dire : Supposons que S soit non vide et considérons un élément x de S .
Alors x ceci,x cela,....,alors....etc....alors x est dans tel ensemble T assez agréable. Autrement dit on a montré qye l'on a S T.
La partie synthèse (ou réciproque) consiste à passer en revue les éléments de T (si l'analyse est bien faite T n'est pas "gros") en à ne garder que ceux qui vérifient P qui forment un ensemble U.
Si l'analyse est très bien faite  on a T S .
On termine par la partie conclusion qui consiste à dire (écrire) qu'on vient de prouver que S = U (et on est content ).

Très souvent (en particulier sur ce forum) la partie synthèse est absente et on ne précise pas ce qui est montré.

Maintenant si tu as un problème de recherche à nous proposer .....

bonjour

prenons un exemple simple :

résoudre dans R l'équation (x²) = 2x-1

Analyse :
Si x est solution, alors a fortiori les carrés des deux membres sont égaux, donc x²=4x²-4x+1
(...) ce qui conduit à x=1 ou x=-1/3

Synthèse :
si x=1 alors ... on remplace... ça marche
si x=-1/3 alors on remplace ... ça marche pas

conclusion :
l'équation a une seule solution qui est 1

Tout d'abord merci à tous,
Comme disait mon prof de math: " un bon exemple vaut mieux qu'un long discours"
Je pense avoir compris sur vos exemples donc merci.
Ma question vient en fait d'une démo que l'on a faite en cours: Il fallait démontrer que:
            Il existe un unique morphisme d'algèbre a de K[X] dans A tel que a(X)=a (se lit phi indice a)

Pour l'analyse on a supposé a et on a montré que P K[X], (P)=P(a)

Pour la synthèse on a juste montré que a était un morphisme d'algèbre.

Donc voilà, je ne vois pas trop le lien avec ce que vous m'avez expliqué.
Je vais revoir tous ça.
Encore merci et bonne journée

alors si l'analyse est bien faite la synthèse n'a plus lieu d'être

ainsi pour l'exemple de MM la première analyse qui consiste en une simple lecture et à donner du sens à ce qu'on lit est de poser et d'imposer 2x-10

sinon cette équation n'a pas de sens et il n'y a pas d'équivalence car élever au carré n'est pas bijectif sur R

petite remarque pour chipoter un peu (mais quand même très intéressante)

dans les genres de questions  : montrer que zzz est solution de.... ou vérifie ****

et bon nombre d'élèves "font" si zzz est solution alors ... ou si zzz vérifie **** alors

ce qui est une faute de raisonnement....

pour résumer en "très" gros le phénomène (très critiqué par mon prof de lycée que j'ai eu en + 3 ans et qui était excellent et très brillant pédagogiquement parlant)et qui donne une méthode radicale pour résoudre tous les pb:

supposons le pb résolu;
alors il est résolu;
donc il est résolu !!!!

ok merci je vois bien

merci à tous
bonne soirée

si l'analyse est bien faite la synthèse n'a plus lieu d'être (carpediem)

Absolument pas !
L'analyse est la preuve de : P Q   ou encore S T .

Quand je dis que l'analyse est bien faite je sous entends que la synthèse (la réciproque) est facile (triviale peut-être).

Un autre exemple : toute fonction de dans est somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.

Soit f : .

Analyse : si f = p + i avec p paire et i impaire. Alors, pour tout réel x on a f(x) = p(x) + i(x) et f(-x) = p(x) - i(x). On en déduit p(x) = (f(x) + f(-x)) /2 et i(x) = (f(x) -f(-x))/2.

Synthèse : Si on définit les fonctions p et i par p(x) = (f(x) + f(-x)) /2 et i(x) = (f(x) -f(-x))/2, alors p est paire, i est impaire, et p + i =f.

un autre (contre) contre-exemple :

pour tout fonction f:

p(x)=(1/2)[f(x)+f(-x)] est paire

i(x)=(1/2)[f(x)-f(-x)] est impaire

f=p+i !!!

@ carpediem : je n'ai pas bien compris le sens de ton intervention.

Tu as répété ce que j'avais écrit dans la partie "synthèse". Ce qui tendrait à montrer, à l'opposé de ce que tu déclarais précédemment, que c'est l'analyse qui n'a pas lieu d'être. Et c'est vrai que du point de vue logique on peut se contenter de la synthèse. Mais l'analyse sert à ne pas sortir du chapeau les formules pour p et i et aussi montre que la solution est unique. C'est souvent le but d'une démonstration par analyse et synthèse : existence et unicité.

Je cite l'article "Géométrie analytique" de wikipedia :
"Dans les mathématiques grecques, l'analyse consiste à partir de l'objet cherché, en supposant son existence, de manière à établir ses propriétés. Il faut poursuivre dans cette voie jusqu'à produire assez de propriétés pour caractériser l'objet. On peut alors renverser la situation, en ne faisant plus l'hypothèse d'existence et en l'introduisant effectivement l'objet par le biais des propriétés caractéristiques : c'est la phase de synthèse, qui doit aboutir à la preuve d'existence."

Comme tu disais, c'est sûrement les maths modernes!

oui, je suis assez d'accord avec Gabuzomeu là Carpediem...

c'est vrai que lorsqu'on est visionnaire et qu'on comprend tout immédiatement, alors là l'analyse ne s'impose pas  (si on reprend l'exemple de Gabuzomeu)

faut reconnaitre que dans cet exemple il est tout à fait évident qu'il faut prendre p(x)=... et i(x)=...

mais il faut se mettre à la place du pauvre gars pas futé que je suis, la première fois que j'ai vu cela et que seule la méthode d'analyse pouvait conduire à trouver ce qu'il fallait prendre pour "p" et "i"

Quant à mon exemple Carpediem... je n'ai jamais affirmé que la méthode d'analyse et synthèse était la seule pour résoudre cette équation... c'est simplement un exemple où cette méthode s'applique.

MM

qui plus est, une petite remarque supplémentaire quant à la remarque de Carpediem sur les "maths modernes" et le rapport avec sa date de naissance... je connais bien cette période puisque j'ai un jeune frangin du même êge que lui...

Il se trouve que lui (Carpediem) n'a fait que ce qu'on a appelé "les maths modernes" et les as même commencées dès le primaire avec les système de numérations, théorie des ensembles et tout le bastringue, alors que cette expression (analyse et synthèse) était enseignée avant, à l'époque où on faisait de la géométrie de figure très tôt. Personnellement je suis de 57 et je n'ai subi les maths modernes qu'en seconde...

Donc visiblement cette expression n'a aucun rapport avec les maths modernes... d'autant plus qu'en "maths moderne", l'écriture d'un mot en français était particulièrement mal vu... une démonstration devant être le plus hiéroglyphisée possible à la sauce bourbakienne.

Comme le signale Gabuzomeu, c'est une très ancienne expression qui a fait ses preuves.

Pour finir, j'ajouterais que Carpediem, faisant des mathématiques, utilise probablement très souvent cette méthode sans le savoir...

Amicalement à vous

MM

je reconnais que je chipote un peu

je ne suis pas assez vieux (pardon les ainés ) pour avoir entendu cette expression et plus assez jeune (pardon les gamins ) pour ... bis répétita...

mais qu'on définisse ou nomme l'activité scientifique par cette expression (et en particulier à nouveau (serait une critique des sciences de l'éducation dans leur caractère idéologique et donc néfaste ... ?)) l'important est de faire un travail complet

que l'analyse permette de se dispenser de faire une synthèse comme l'exemple de MM (qui n'est qu'un ex et qui donne une façon de le résoudre) où la donnée (ou détermination) à priori du domaine de validité permet de donner l'unique solution ou que la synthèse (la donnée de la réponse) suffise à donner la réponse comme l'exemple de GBZM et en particulier suite à ton post suivant le mien où tu rajoute qq chose : l'unicité qui n'est pas demandé : tu ne demandes que d'écrire que toute fonction s'écrit comme somme d'une fonction paire et (d'une fonction) impaire (et ce quelle que soit la connaissance, le génie ou quoi que ce soit d'autre c'est ce que je fais), l'objectif du travail scientifique est de donner LA réponse à la question avec tout ce que cela comporte, ie la démonstration de cette réponse

évidemment dans mon travail de recherche (d'apprentissage) il m'est arrivé par ex de dériver ou intégrer une série (formelle) sans savoir si cela était possible pour découvrir ou étudier des propriétés au brouillon puis ensuite si cela "marchait", de dire oui on peut parce que ....en justifiant avec rigueur

....et ça ne m'a pas géné d'être un Mr Jourdain....
mon objectif étant de donner LA réponse dans les règles de l'art !! (que cet art s'appelle ou non "méthode par analyse et synthèse") et que cette méthode utilise un raisonnement par récurrence, par disjonction de cas , par l'absurde ou je ne sais quoi....

^{ce qui me gène de plus en plus dans cette science c'est que j'ai de plus en plus l'impression qu'on est dans l'artifice : on ne pratique plus mais on regarde la pratique....on nomme les actions mais on n'agit plus...}

tout à fait d'accord ! l'important est que la preuve soit rigoureuse !

d'ailleurs, ce n'est qu'une question de vocabulaire puisque la partie dite "analyse" correspond à la recherche d'une "condition nécessaire", alors que la synthèse prouve que la condition trouvée est "suffisante".

Donc n'ergotons pas sur la terminologie !