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Analyse-Fonction
Bonsoir, je travaille sur un exercice d'analyse qui me pose problème.
f est une fonction de classe C 3 de [a,b] dans R. On pose M=Sup|f^(3)(x)| avec f^(3) signifiant dérivée troisieme de f.
1.u et v sont deux réels tels que u<v et [u,v] inclus dans [a,b]. On pose c=(u+v)/2. Soit g la fonction polynomiale de degré inférieur ou égale à 2 telle que f(u)=g(u), f(v)=g(v),f(c)=g(c).
a.J'ai montré que g existe et est unique
b.On définit la fonction h comme suit:
-h(u)=h(v)=h(c)=0
-si x différent de u,v,c, alors f(x)-g(x)=(x-u)(x-v)(x-c).h(x)
On suppose x fixé distinct de u,de v et de c. On définit alors la fonction k comme suit:
k(t)=f(t)-g(t)-(t-u)(t-v)(t-c).h(x).
Montrer que la dérivée troisieme de k s'annule en un point y de ]u,v[.
Voilà,je n'arrive pas cette question. Pourriez vous m'aider? Merci beaucoup
Bonjour Laurierie;
Tu pourras commencer par remarquer que la fonction est au moins de classe
sur
(donc aussi sur
) et qu'elle s'annule successivement aux quatres points distincts
et
de
.En supposant sans perte de généralité que
on voit par application du théoréme de Rolle que la dérivée premiere de
s'annule au moins une fois sur chacun des intervalles
,
et
(par exemple en
et
) et puis par application du théoréme de Rolle à
que la dérivée seconde de
s'annule au moins une fois sur chacun des intervalles
et
(par exemple en
et
) et voilà il ne te reste plus qu'à appliquer une derniére fois le théoréme pour voir que la dérivée troisiéme de
s'annule au moins une fois sur l'intervalle
.
Remarque:
Pour aboutir au résultat demandé on n'a en fait besoin que de l'existence de la dérivée troisiéme de sur
mais je suppose qu'il y'a d'autres questions que tu n'as pas posté utilisant la constante
donc la continuité de
sur
.
Sauf erreurs bien entendu 
Bonsoir Elhor et félicitation pour ton statut de correcteur.
J'ai bien pensé à utiliser Rolle mais je ne pensais pas qu'on avait le droit d'affirmer que f s'annule sur x de [u,v], car ce x peut très bien être c.
Voici pour la suite: Montrer que
||
(M/192).(v-u)^4.
Je n'ai pas réussi à répondre à la question et je pense qu'il faut utiliser les hypotheses cette fois ci. Merci beaucoup
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