Bonsoir,

Elle n'est pas lipschitzienne sur tout entier, en revanche elle l'est sur les intervalles de la forme avec a>0 (sur lequel la dérivée de est bornée... alors que ça n'est pas le cas pour a=0).

Bonjour,
ta fonction est lipschitzienne sur tout intervalle de la forme [a,+[ avec a>0.
mais elle ne l'est pas sur [0,+[ ni même sur ]0,+[.

Pour faire simple, et donc un peu incomplet n'est pas borné au voisinage de 0

vous utilisez la proposition que si tout x dans I, f'(x) bornee, alors f est lipschitzienne. mais comment peut on montrer que f n' est pas lipschitzienne sur un intervalle? merci

Le résultat que j'ai donné montre que f n'est pas lipschitzienne sur un intervalle contenant 0.
Pour montrer que la racine carré n'est pas lipschitzienne sur on peut étudier le rapport et vérifier qu'il n'est pas borné sur

Bonjour Verdurin et Porcepic,
merci pour votre explication . Vous pouvez me dire si ce que je dis est vrai: le fait que la dérivée d'une fonction est bornée sur un intervalle est une condition suffisante, alors si cette condition est fausse, alors la fonction ne peut pas etre un lipschitz.
Merci encore une fois

La première partie est bonne, en revanche, pour pouvoir dire que « si la condition est fausse, alors la fonction n'est pas lipschitzienne » (autrement dit : il y a équivalence), il faut (bien sûr) que la fonction soit dérivable.

Il existe des fonctions non dérivables sur un ensemble et qui sont pourtant lipschitziennes dessus (exemple bête : la valeur absolue sur ).

ah, je suis presque tombé dans le piège. merci beaucoup, c'est bien ca. Je sais pas pourquoi, souvent, je suis stupide. s'il y a l'equivalence, alors on a , une fonction lipschitzienne => sa dérivée est bornée. Par la contraposition, sa dérivée n'est pas bornée => la fonction n'est pas lipschitzienne.
Merci encore une fois Porcepic
Seiha