Salut Rouliane,
déjà un ouvert borné dans le plan c est compris dans une boule (un disque en l occurence)
la frontière de omega, c est son adhérence privé de son intérieur, vu que omega est ouvert, c est bien ce que tu dis.

Dans un espace métrique (X,d), on dit qu une partie E est borné si il existe un réel (strictement?) positif r et x dans X tel que  E est contenu dans une boule B(x,r).

Bonjour romu,

Merci pour ces précisions. Je voulais écrire intérieur mais le ° n'est pas apparu.
Un ouvert bornée est effectivement compris dans une boule, mais on ne peut rien dire de plus quant à son écriture ?
sinon, c'était correct de dire que les ouverts-bornés de R sont les ]a,b[ ?

je dirais plutôt que les ouverts de R qui sont bornés sont ceux qui sont inclus dans un intervalle du type (a,b) (ouvert, fermé, ou non)

d'accord, merci !

heu, une réunion d'ouvert est un ouvert non ? pourquoi ta réunion dans ton message de 14:41 ne serait pas un ouvert ?

ben c'est un ouvert, mais c est pas un intervalle ouvert (c'est pas connexe), on a privé 2.

tu as des ouverts qui ne sont pas des intervalles, mais qui sont tout de même borné pour résumer.

les ]a,b[ sont des ouverts bornés de R, mais ce ne sont pas les seuls.

je vais aller revoir la connexité je crois

je viens de mater le problème de Dirichlet sr wiki, ça a pas l'air évident du tout.
Je te souhaite bon courage.

merci

Il faut aborder la notion de distributions et espaces de Sobolev, j'en suis pas encore là

Pour une fonction continue sur la frontière d'un ouvert borné.
Il me semble que si tu prends f(x) = 1/x sur ]-1,1[, elle est continue sur sa frontière {-1,1} (je sais pas si je dis une bêtise), mais pas sur ]-1,1[. Non?

Oui surement ça doit marcher !

Salut,
Il faut aborder la notion de distributions et espaces de Sobolev, j'en suis pas encore là
C'est bien de maitriser ces notions, mais ce n'est pas nécessaire, du moins pour débuter dans le sujet.
En fait, l'étude du problème de Dirichlet a amené à créer une théorie, que l'on appelle la théorie du potentiel. C'est proche de l'analyse complexe et de l'analyse fonctionnelle mais surtout de l'analyse harmonique.

Si tu t'intéresses au problème de Dirichlet, je te suggère de plutôt t'intéresser à cette voie.

Trois livres impressionants sur le sujet:
1-Thomas Ransford -> "Potential theory in the complex plane" (Cambridge university press)
2-Masatsugu Tsuji -> "Potential theory in modern function theory"
3-Donald E. Marshall & John B. Garnett -> "Harmonic Measure"

C'est d'ailleurs préférable de les aborder dans cet ordre, compte tenu du niveau croissant de difficulté.

Merci Otto !

En fait je m'intéresse pas spécielement à ce problème, mais j'aurai très certainement à m'y intéresser l'année prochaine, mais dans le cadre des distributions et espaces de Sobolev.

Un exemple hyper classique en passant, d'un domaine n'ayant pas de solution au problème de Dirichlet:
Le disque unité épointé en 0.

Il est trivialement ouvert, mais il existe des fonctions continue sur sa frontière, qui ne sont pas limite au bord, d'une fonction harmonique (conséquence immédiate du théorème de prolongement holomorphe de Riemann).

Bonjour,

romu ->

Merci Otto.

Fractal, peut-etre en disant qu'elle est continue en -1 et en 1.

Salut,
Euh, je vois mal comment on peut dire qu'une fonction est continue sur un ensemble de deux points isolés
Quelle est la définition de la continuité (dans R ou dans un espace topologique général) ?

Salut otto
D'après ce que j'ai lu dessus, pour une fonction dont le domaine de définition est un sous-ensemble de R, la notion de continuité n'est définie que pour les points d'accumulation de Df, c'est à dire entre autres pas pour les points isolés.
Après, il y a peut-être une autre définition que je ne connais pas... (ou alors, comme le dit Rouliane, j'ai mal compris et il s'agit de la continuité en 1 et -1, le domaine étant toujours [-1,1] )

Fractal

Une fonction est continue de X dans Y si pour tout ouvert V de Y, son image réciproque par f est un ouvert dans X.

Une question naïve, mais j'ai oublié tout cela! Un rafraïchissement.
J'ai un ensemble de R (réels!).
Il est majoré.
Il me semble qu'on doit pouvoir en conclure qu'il possède une borne supérieure (de mémoire, ce doit être pour cela qu'on dit que R est complet)
Donc, dans R, un ensemble majoré est borné (bien entendu la borne n'appartient pas obligatoirement à l'ensemble)
Pour Q, bien sûr, tout cela doit être faux.

Si j'ai raison, quel est le nom du théorème qui assure l'existence de cette borne (est-ce si loin que çà de la notion de coupure?

Merci d'avance pour vos réponses

Bonjour,
bon attention, majoré n'implique pas borné.

Le truc dont tu parles s'appelle la propriété de la borne supérieure.

Bonjour, je pense que tu devrais creer un nouveau topic....
Sinon tu mélange un peu tout...
Oui toute partie majorée de R possède une borne supérieure...on peut prendre ça comme une défintion de R, en fait...sinon il faut voir comment tu construit R. Mais ca n'est pas directement liée à la complétude.
Non en ensemble majorée dans R n'est pas borné, il faut (et il suffit d'ailleurs) qu'il soit majoré et minoré pour etre borné...c'est la défnition d'etre borné.
Dans Q toute partie n'admet pas necessairement de borne sup.

bonjour,

mais si gagne cette propriété par rapport à , c'est bien à cause de la complétude, non?

Oui ca vient de la complétude, mais il est des ensemble complets qui ne verifient pas la proriété de la borne sup...C par exemple...

mais C n'est même pas ordonné.