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Analyse fonctionnelle - base hilbertienne
Bonjour,
Je bloque sur un exo d'analyse fonctionnelle que voici :
Soit H un Hilbert séparable et
Montrer que les affirmations suivantes sont équivalentes :
a)
b) pour tout x dans H, la relation
J'ai essayé de faire le sens a) => b).
Voici pour l'instant les seuls choses que je peux dire :
La relation
Mais je ne sais pas si je peux écrire ça vu que j'ai une somme infinie ?
Merci d'avance
merci Kaiser.
je vais réfléchir à ça !
l'idée c'est quand même de faire ce que j'ai fait dans mon premier message ? ( je parle juste du principe, )
en utilisant les epsilon comme tu dis.
Re,
Alors les epsilon je vois pas trop comment ils faut les faire intervenir.
le sul truc que je vois, c'est qu'à partir d'un certain rang,
Mais je ne sais même pas si je peux utiliser ça 
si tu peux utiliser ça car la série converge (en gros, ce que tu dis c'est le reste est majoré par epsilon)
Kaiser
oui mais je ne sais pas où ça va mener (d'ailleurs, n'oublie pas que l'on veut montrer que tous les coefficients sont nuls).
Kaiser
je dirais plutôt que l'on va montrer ce que tu pressentais dans ton premier message, à savoir que le produit scalaire de la somme avec un vecteur de la base hilbertienne est égal au coefficient correspondant.
Kaiser
Comme on a affaire à une somme infinie, l'idée est de se ramener à une somme finie : à ton avis, comment ?
Kaiser
Ben je vois pas trop 
Ca m'a pas l'air compliqué, j'ai compris le principe, mais j'arrive pas à le mettre sur papier 
on veut montrer que ce produit scalaire vaut .(n étant fixé)
on se fixe .
Comme la série converge, il existe un entier N tel que
essaie d'en déduire une majoration de
Kaiser
j'oubliais de préciser : quitte à augmenter N, on peut toujours supposer que N est strictement supérieur à n.
Kaiser
Je vais donc avoir :
Mais je n'arrive pas à voir comment utiliser la majoration en epsilon du reste ici ?
ok c'est donc fini
Ben merci beaucoup, très astucieuse cette démo, en passant par le reste qui tend vers 0 et Cauchy Schwarz !
Allez hop, en favori
Je t'en prie ! 
(cela dit, il reste encore l'autre sens à démontrer mais là je crois qu'on va faire ça plus tard. En tous, cas, je vais 
! donc bonne nuit à toi)
Bonne nuit à toi, je suis aussi mort !
En tout cas c'est sympa de m'aider à une heure si tardive ( faut dire que je bosse souvent tard et heureusement que t'es là )
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