Il n'y a vraiment personne qui peut m'aider???

Salut !


fermé :c'est l'image réciproque d'une application continue.

convexe, prend deux fonction de M et vérifie que k*f+(1-k)*g est aussi dedans. (ou bien contente toi de dire que c'est un hyperplan affine aussi...).

le fait qu'il ne contiens pas d'element de norme minimal est un peu plus subit je pense... commence par montrer que l'inf des norms sur l'ensemble des 1/2, puis essaie de montrer qu'une fonction continu de norme 1/2 ne peut pas etre dans M...

errata :

fermé :c'est l'image réciproque d'un fermé par une application continue.

Merci beaucoup je vais réfléchir à tes conseils.

Je n'ai pas compris comment faire intervenir l'hyperplan affine ?

Bonsoir ;

Commençons par signaler que est non vide vu par exemple que .
Si on note on vérifie facilement que est une forme linéaire sur ,
et comme on voit que est continue ,
et montre que est fermé .
La convexité de est claire vu que .
Nous arrivons maintenant à l'essentiel de l'exercice à savoir que n'admet pas d'élément de norme minimale ,

par l'absurde ,
commençons par prouver qu'un tel élément (s'il existe) est de norme ,
en effet soit un tel élément alors d'une part on a ,
et d'autre part en considérant la suite de fonctions définie par ,
on vérifie assez facilement que
et par conséquent d'où d'où

mais alors les deux fonctions et seraient positives et comme on a
on voit que (par continuité) doit être sur et sur _{(sauf erreur bien entendu)}


Si je ne me trompe , cette situation est impossible dans un Hilbert où on montre
l'existence de la projection orthogonale sur un convexe fermé.

Merci beaucoup, franchement vous êtes super, je retrouve toutes les indications imprécises de mon prof mais bien détaillées et mille fois plus compréhensibles!!!
Merci encore elhor_abdelali et à bientôt sur l'île!
Bonne soirée.

Tiens c'est peut-être un bon exercice ça !

Soit un convexe fermé (non vide) d'un espace de Hilbert réel ,

montrer que .
Le vecteur est appelé la projection orthogonale de sur .

montrer que . _{(sauf erreur bien entendu)}

Bonne soirée à toi aussi Ibiscus

Juste une petite question:
que veut dire -4Id[0,1] ? C'est une fonction ?

est une notation pour désigner l'application ,
ainsi désigne l'application _{(sauf erreur)}

Merci je ne connaissais pas cette notation