Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

analyse hilbertienne

Posté par
romu 25-04-08 à 13:25

Bonjour,

je bloque sur cet exo:

Citation :
Soient (H,||.||) un espace de Hibert réel de produit scalaire associé (.|.) et C un convexe fermé non vide de H.

Soit T:H\rightarrow H une application k-Lipschitzienne avec k \in ]0,\infty[, i.e. ||T(x)-T(y)||\leq k ||x-y|| pour tous x,y\in H.

On suppose de plus que T est monotone au sens suivant:  (T(x)-T(y)|x-y)\geq 0 pour tous x,y\in H.

Soit un point u \in C tel que (T(u)|y-u)\geq 0 pour tout y\in C.

Soient \lambda\in ]0,1/k[ et x_0\in C fixés. On pose a:=\textrm{proj}_C(x_0-\lambda T(x_0)) et b:=\textrm{proj}_C(x_0-\lambda T(a)).

On se propose de montrer que \fbox{||u-b||\leq ||u-x_0||}.

1) a) Rappeler la définition d'un ensemble convexe de H et la caractérisation en termes de produits scalaires de l'égalité 3$x'=\textrm{proj}_C(x).

    b) Montrer que 3$x'=\textrm{proj}_C(x) si et seulement si 3$x'\in C et 3$||x-y||^2\geq ||x-x'||^2+||y-x'||^2 pour tout y\in C.

2) Justifier l'inégalité ||b-u||^2\leq ||x_0-\lambda T(a)-u||^2 - ||x_0-\lambda T(a)-b||^2 et en déduire que

\qquad ||b-u||^2\leq ||x_0-u||^2 - ||x_0-b||^2+2\lambda (T(a)|u-b)

puis en utilisant la monotonie de T que

\qquad ||b-u||^2\leq ||x_0-u||^2-||x_0-b||^2+2\lambda (T(a)|a-b).\qquad \qquad (1)

3) Déduire de (1) que

\qquad ||b-u||^2\leq ||x_0-u||-||x_0-a||^2-||a-b||^2+2\lambda(x_0-\lambda T(a)|b-a).

4) En utilisant la définition de a montrer que

\qquad (x_0-\lambda T(a)-a|b-a)\leq \lambda k ||x_0-a||.||b-a||

5) Déduire de 3) et 4) les inégalités

\qquad ||b-u||^2\leq ||x_0-u||^2+(\lambda^2k^2-1)||x_0-a||^2\leq ||x_0-u||^2.


Pour la 1) a) c'est ok, une partie C de H est convexe si pour tous x,y\in C, et pour tout t \in [0,1], on a  tx+(1-t)y\in C. On applique le théorème d'existence et d'unicité de la projection sur un convexe fermé non vide d'un espace de Hilbert pour justifier l'existence de 3$x'=\textrm{proj}_C(x).

Pour la 1) b), pour le sens indirect on a clairement ||x-y||^2\geq ||x-x'||^2 et x'\in C, donc x'=\textrm{proj}_C(x),
pour le sens direct par contre je ne vois pas comment le justifier.

Merci pour votre aide.

Posté par
Rodrigore : analyse hilbertienne 25-04-08 à 14:00

Bonjour,
T'as oublié une partie de la question 1) qui te permet justement de resoudre la question 1b). C'est sur la caractérisation du projeté en terme de produit scalaire (un dessin aide a retenir cette propriété tres visuelle)

Posté par
romure : analyse hilbertienne 25-04-08 à 14:21

ok, j'avais complètement zappé l'existence de cette caractérisation

Merci Rodrigo

Posté par
romure : analyse hilbertienne 25-04-08 à 14:41

Pour la 2) je ne vois pas comment utiliser la monotonie pour en déduire l'inégalité (1) ?

Posté par
romure : analyse hilbertienne 25-04-08 à 15:09

Bon je crois que j'ai compris,

par monotonie de T, on a

(T(a)-T(u)|a-u)\geq 0

i.e. (T(a)|a-u)\geq (T(u)|a-u)

donc (T(a)|a-b)=(T(a)|a-u)+(T(a)|u-b) \geq (T(u)|a-u)+(T(a)|u-b) \geq (T(a)|u-b),

la dernière égalité étant due au fait que (T(u)|a-u)\geq 0.

On déduit alors (1) de l'inégalité %5Cqquad%20||b-u||^2%5Cleq%20||x_0-u||^2%20-%20||x_0-b||^2+2%5Clambda%20(T(a)|u-b)

Posté par
romure : analyse hilbertienne 25-04-08 à 15:18

euh non je dis n'importe quoi,

on a (T(a)|a-b)=(T(a)|a-u)+(T(a)|u-b)

et par monotonie de T, (T(a)-T(u)|a-u)\geq 0,

de plus (T(a)-T(u)|a-u)=(T(a)|a-u)-(T(u)|a-u)

i.e. (T(a)|a-u)=(T(a)-T(u)|a-u)+(T(u)|a-u) \geq 0 car les deux termes de cette somme sont positifs,

donc (T(a)|a-b)\geq (T(a)|u-b)

On déduit alors (1) de l'inégalité %5Cqquad%20||b-u||^2%5Cleq%20||x_0-u||^2%20-%20||x_0-b||^2+2%5Clambda%20(T(a)|u-b)

Posté par
romure : analyse hilbertienne 25-04-08 à 16:06

Pour la 4), cela équivaut à montrer d'après l'inégalité de Cauchy Schwarz que

\qquad \lambda k ||x_0-a||\leq ||x_0-\lambda T(a)-a||,

mais je bloque pour prouver cette inégalité

Posté par
romure : analyse hilbertienne 25-04-08 à 16:15

ah oui pour la 3), je pense qu'il y a une coquille et que c'est plutôt

%5Cqquad%20||b-u||^2%5Cleq%20||x_0-u||-||x_0-a||^2-||a-b||^2+2(x_0-%5Clambda%20T(a)|b-a)

Posté par
romure : analyse hilbertienne 25-04-08 à 16:26

Bon j'ai trouvé en fait,

par la caractérisation de la projection sur un convexe fermé non vide en termes de produits scalaires, on a (x_0-\lambda T(x_0)-a|b-a)\leq 0,

donc (x_0-\lambda T(a)+\lambda T(a) - \lambda T(x_0)-a|b-a)\leq 0

i.e. (x_0-\lambda T(a) - a|b-a)+(\lambda T(a) - \lambda T(x_0)|b-a)\leq 0,

on a alors

3$(x_0-\lambda T(a) - a|b-a)+(\lambda T(a) \leq \lambda T(x_0)|b-a) \leq_{CS} ||\lambda T(x_0)-\lambda T(a)||.||b-a|| =\lambda||T(x_0)-T(a)||.||b-a|| = \lambda k ||x_0-a||.||b-a||

Posté par
romure : analyse hilbertienne 25-04-08 à 17:18

je ne parviens pas à montrer l'inégalité de gauche pour la 5)


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1677 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !