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Analyse : Inégalités X
Bonjour,
Désolé de venir vous déranger, mais je suis en galère sur un exercice 
( ça fait une dizaine d'heures sans succès)!
Alors voila l'énoncé :
Soit n entier naturel non nul et t un réel entre 0 et n.
Il faut montrer que pour tout t:
0<= exp(-t^2 / (2n)) - exp(t)*(1 - t/n)^n <= 1/sqrt(en)
J'ai pris la fonction fn(t) qui à t associait le terme au milieu de l'inégalité, j'ai essayé maintes choses, et j'ai fini par avoir été conseillé par mon professeur : considérer la fonction g :
gn(t)= exp(t + t^2 /(2n)) * (1+ t/n)^(n-1) - 1
Puis montrer que fn' a le meme signe que gn pour ensuite étudier les variations de g.
Après des dizaines de pages de calculs, je galère à montrer l'égalité des signes (J'ai calculé la dérivée et veut montrer que le produit des deux fonctions est >=0). Ensuite je ne vois même pas en quoi l'étude de g justifierait l'exercice à moins que de montrer si elle est strictement monotone et calculer des limite. Quoi qu'il en soit je galère.
Merci de votre aide
C'est un bon réflexe de considérer telle que tu l'as définie.
Pour la fonction , sauf erreur de ma part elle est plutôt définie par
Petite erreur de signe dans la parenthèse !
Je ne sais pas si c'est une erreur de recopiage lors de la rédaction de ton message ou si c'est une erreur de recopiage tout court, ce qui expliquerait sans doute que tu n'arrives pas à montrer que ces deux fonctions ont le même signe.
Si toutefois tu bloques, on peut toujours - même si c'est de mon point de vue moins élégant- montrer que
Bon courage
Si toutefois tu bloques, on peut toujours - même si c'est de mon point de vue moins élégant- montrer que
Le "prime" n'est pas passé
Merci beaucoup ! Je vais essayer ça !
Et ça n'était même pas une erreur de recopiage
L'indication de mon professeur pour la fonction Gn ne devait alors pas être bonne…
J'essaie de montrer que fn' et Gn ont ne même signé puis j'étudie les variations de Gn (surement monotone), une étude de limite et c'est plié ?
C'est bon pour le signe merci ! Il y avait bien une erreur je pense dans le signe, c'est bien plus simple ici et une identité remarquable apparaît assez rapidement
Au final; je ne sais pas si c?est la nouvelle expression qui m?embête, mais je n?arrive pas à montrer que quand t tend vers n, on a gn >=0
Ça permettrait de montrer que fn?>=0, puis une étude des limites de fn finirait l?exo
* Modération > Image effacée. Merci d'utiliser les outils mis à ta disposition pour écrire les formules mathématiques *
Bonjour,
Un peu de lecture :
extrait de 
la FAQ du forum :Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?
Par ailleurs, merci de mettre ton profil à jour. Tu n'es plus en première, semble-t-il.
Désolé, j'avais lu seulement que les photos n'étaient pas autorisées pour les énoncés
Je reprends donc ma question; j'obtiens que g est croissante pour t entre 0 et sqrt(n) et décroissante sur [t,n]. En calculant la limite de gn quand t tend vers 0 j'obtiens 0, et celle quand t tend vers n, j'obtiens une limite très bizarre qui ne m'a pas l'air de tendre vers un nombre >=0… je ne vois pas vraiment comment m'en sortir
Désolé, j'avais lu seulement que les photos n'étaient pas autorisées pour les énoncés
Je reprends donc ma question; j'obtiens que g est croissante pour t entre 0 et sqrt(n) et décroissante sur [t,n]. En calculant la limite de gn quand t tend vers 0 j'obtiens 0, et celle quand t tend vers n, j'obtiens une limite très bizarre qui ne m'a pas l'air de tendre vers un nombre >=0… je ne vois pas vraiment comment m'en sortir
Il se peut que
Bien sûr, cela rend l'exercice plus complexe mais pas infaisable non plus !
Si tu trouves une valeur négative, et bien cela signifie juste - en appliquant le TVI -que
Et après ? Et bien cela te donne les variations de
A partir de là, est-ce que tu peux justifier que
Alors je vous avoue que j'y ai encore passé une dizaine de pages de calculs, mais en remplaçant t par n, je n'obtiens pas de valeur simple et il me parait même difficile de montrer qu'elle est positive…
Ensuite, je vois bien que fn' est positive sur [0,an] puis négative sur [an,n], mais pour calculer la valeur maximale de fn et montrer qu'elle est inférieure a 1/sqrt(en), j'ai juste pataugé toute la journée… Il me faudrait la valeur de t pour laquelle fn'=gn=0, mais impossible de la trouver (équations non linéaires). Je crois avoir tout essayé et j'avoue que je commence à décourager 😅
Ah si, n'importe quoi ! La valeur fn(n) je l'avais et elle est bien positive, j'avais réussi à montrer que fn>=0 par les variations mais le problème qui me restait c'était vraiment pour l'extremum de fn… J'ai essayé par tous les moyens possibles et en combinant les expressions à la disposition d'expliciter le t tel que fn'(t)=0, mais sans succès. Je ne vois pas comment faire, même sans l'expliciter ?
Alors : ta fonction admet un maximum en
(c'est comme ça que j'avais appelé ce moment où
s'annule un peu plus haut).
Sachant que, du coup, , tu dois pouvoir comme tu l'as dit en "combinant les expressions" pouvoir écrire
autrement - toujours en fonction de - mais dans l'idée d'obtenir cette fois-ci une expression "simple" de
, c'est à dire une égalité
,
où est une fonction simple dont le maximum serait égal à
Si ce que j'ai dit ne te semble pas clair voici comment finir ton problème :
1. Donner l'expression de en fonction de
.
2. En utilisant l'égalité , montrer que l'on peut écrire
, avec
3. Étudier les variations de sur
et montrer que pour tout
, on a
4. Conclure.
Normalement je n'ai rien d'autre à te dire 
Dis-moi si tu t'en es sorti.
Alors j'avoue que je ne sais pas si c'est moi le problème, mais je ne comprends pas tout... En combinant les expressions des fonctions évaluées en alphan, je dois réussir à faire sortir l'expression de fn(alphan) puis l'isoler ? L'expression obtenue serait forcément une fonction plus simple à étudier ? J'avoue que je patauge vraiment beaucoup et je galère déjà à obtenir cette expression
Non, tu ne vas jamais avoir une valeur explicite de ou de
.
Mais en utilisant l'égalité , tu peux écrire "un morceau" de
différemment (toujours en fonction de
) pour à la fin avoir une expression de
(question 3) qui soit un peu moins moche que celle que tu as eu dans ma question 1.
Je suis désolé, si je t'en dis plus je pense que je te donne la réponse ! Mais je suis sûr que tu vas t'en sortir.
Je suis en plein calculs, y'a juste des ^n-1 qui m'embêtent, j'essaie encore un peu et je reviendrai si jamais Merci énormément pour votre aide en tout cas ! PS: je ne vois toujours pas comment, à la base, on aurait pu avoir l'idée de poser cette fonction gn, ça vient intuitivement ? Comment on a cette idée là ?
Après beaucoup de bricolage, j'obtiens fn(a)= exp(-(a^2)/2n)*(1 + a/n) + exp(a)*(1 - a/n)^(n-1). Je ne pense pas que c'est le genre d'expression attendue, toujours non linéaire ...
Alors, à la base pour trouver ,
elle apparaît assez naturellement quand on fait une série d'équivalences à partir de l'assertion
Et si tu as fini, bravo ! En fait ici, on ne connaît pas la valeur explicite de mais comme tu as vu il n'est pas nécessaire de l'avoir pour savoir qu'elle est majorée par
Quoi que, j'obtiens fn(a)=0, ce qui est faux, en isolant la partie de fn dans gn
Ne cherche pas une valeur explicite de
Écris l'expression de
Pour comprendre, peut-être que ça peut t'aider de répondre d'abord à la question 4, qui est une bête étude de la fonction
C'est bon j'ai réussi merci énormément ! J'ai pu majorer fn par 1/sqrt(exp(n)) que j'ai lui même majoré par 1/sqrt(en)
Pour en revenir à gn, pourriez-vous m'expliquer comment, sur un exercice tel que celui-ci, on peut procéder pour avoir l'idée rapidement de poser une fonction simplificatrice telle que gn (j'imagine que cela est utile souvent en analyse lorsque les exos sont assez difficiles)? Le simple fait de deriver fn nous aurait fait apparaître la fonction à poser ? Et cela est-il valable souvent en analyse ?
Merci !!
Il n'y a généralement pas de méthode générique en mathématiques sauf sur des cas très précis ou des exercices d'école.
Il n'y a pas de façon "rapide" de voir qu'il faut considérer cette fonction.
La fonction ne m'est pas apparue par magie : l'idée est celle que tu as eue : je veux trouver les bornes de
sur l'intervalle considéré donc je dérive en espérant trouver les variations.
Il s'avère que la fonction dérivée est pénible. Alors on peut la dériver à nouveau pour espérer trouver les variations, et peut-être à l'aide d'un TVI, en déduire le signe de pour en déduire les variations de
et répondre au problème.
Sauf que je constate que c'est super difficile. Donc j'essaie autre chose, est-ce que je peux résoudre l'inéquation sur l'intervalle
? En manipulant cette inégalité, je me retrouve avec une inéquation du type
, où cette fonction
n'est pas la même que
, donc peut-être qu'on aura plus de chance avec celle-là ? Et bien il s'avère que quand je dérive celle-là, j'obtiens facilement le signe de sa dérivée, ce qui me permet d'avancer. Et tu connais suite.
Ce que je veux dire, c'est que souvent, quand on est confronté à un problème, on a une idée générale bien sûr, mais il arrive (et c'est même fréquent !) que l'on doive tâtonner un peu pour aller dans une bonne direction. C'est fréquent que l'on emprunte un chemin qui mène à une impasse. Il faut alors essayer de contourner un peu ce chemin, essayer de voir si on peut pas arriver à destination d'une autre manière - toujours avec la même idée pourquoi pas, si on la pense fructueuse.
En tout cas, l'intuition se développe avec beaucoup, beaucoup, beaucoup de pratique. Et il n'existe pas une "recette" permettant de bien aborder un problème. Dans certains cas, cela existe, mais c'est souvent sur des cas d'école. Pour des problèmes qui sortent un peu des sentiers battus, il faut faire preuve de plus de recul et de patience. Essayer quelque chose et se rendre compte qu'on est parti dans une direction infructueuse est normal. Alors je me répète, en me copiant/collant même : Il faut alors essayer de contourner un peu ce chemin, essayer de voir si on peut pas arriver à destination d'une autre manière - toujours avec la même idée générale pourquoi pas, si on la pense fructueuse.
Dans le cas présent, tu avais l'idée générale, mais tu es je pense resté trop braqué sur la méthode classique du cours et tu n'as pas su spontanément emprunter un chemin un peu détourné pour arriver à tes fins. La bonne nouvelle, c'est que vu que tu as vu cela une fois, il se peut qu'un jour tu aies besoin d'une méthode détournée similaire : en un mot, tu as gagné en expérience mathématique et cela te rend potentiellement plus fort pour tes prochains problèmes.
Bon courage dans le monde merveilleux des mathématiques
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