Bonjour
Le produit de convolution est un opérateur bilinéaire il te suffit donc de montrer que
Ici je suppose que la norme sur l'espace de départ est la norme uniforme.

Bonjour Rodrigo,

est plutôt évident étant donnée la nature des fonctions.

Par ailleurs, je comprends que le produit de convolution soit bilinéaire, mais pourquoi suffit-il de vérifier cette inégalité ? C'est une sorte de condition "C-lipschitzienne" ?

Tu as du certainement voir qu'un opérateur linéaire est continue ssi il verifie ||T(x)||<C||x||
C'est une simple retranscription de ce fait dans le cas bilinéaire.

Effectivement.

Merci

Autre question qui suit à celle-ci. On a la formule habituelle pour les coefficients de Fourier :



Il faut que je vérifie l'égalité : .

J'avais déja regardé cette question le week end dernier, mais je sèche...

Tu connais la transformée de fourier.
Une propriété ('ai envie de dire universelle) fondamentale de la convolution est de transformer transformée de fourier en multiplication. Les coeff de fourier ne sont rien d'autre que des tranformées de fourier sur le cercle.
Bon plus concrètement comment on montre ça. Tu écrit le x dans l'exponentielle comme x-t +t puis tu utilises fubini.

A vrai dire, je ne suis pas censé savoir qu'il s'agit du produit de convolution... on m'a donné directement la formule sans me dire de quoi il s'agissait. Je sais qu'il s'agit du produit de convolution, mais je ne sais strictement rien dessus


Donc, on a :





Mais avec les variables x et t emmêlées comme cela, je ne vois pas comment utiliser la formule de Fubini. Par ailleurs f et g sont continues par morceaux, et il me semble qu'il est nécessaire d'avoir la continuité pour appliquer la formule de Fubini. On peut donc faire subdivision, mais n'y a-t-il pas de problème aux points de discontinuité ?

Avec un changement de variable par exemple.
Pour fubini il suffit de bien moins que la continuité cela dit je ne sais pas quel est la version exacte de ton théorème

Il manque d'ailleurs un dt dans tes intégrales.

Il y a bien le dt dans mes intégrales, non ?

Sinon, pour le changement de variable, en partant de :

c_p(f\star%20g)=\frac{1}{2\pi^2}\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}f(x-t)g(t)dte^{-ip(x-t)}e^{-ipt}dx

on peut poser u = x-t mais je ne vois vraiment on quoi cela s'arrange

oups, désolé :

Ben tu obtiens et la tu fubinises tout ça.