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[Analyse] Lacets et intégrales

Posté par
fusionfroide 13-02-07 à 00:02

Re bonsoir

Je souhaite calculer 4$\int_{\gamma} \frac{exp{i\pi z}}{(z-1)^2}dz où 4$\gamma est la réunion du cercle de centre 4$0, de rayon 4$2 parcouru dans le sens trigonométrique et du cercle de rayon 1/2 parcouru dans le sens opposé.

Donc cet après-midi nous avons vu la notion de cycle homologue et de chaîne.

Si je pouvais avoir quelques pistes pour démarrer et me faire une idée du problème.

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : [Analyse] Lacets et intégrales 13-02-07 à 00:07

re fusionfroide

En gros tu as deux intégrales : l'une qui est nulle et l'autre que tu peux calculer à l'aide de la formule de Cauchy généralisée !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Lacets et intégrales 13-02-07 à 00:09

Re kaiser

Ici, on travaille avec des lacets n'est-ce pas ?

Donc avec un cycle ?

Posté par
kaiser Moderateurre : [Analyse] Lacets et intégrales 13-02-07 à 00:11

Citation :
Ici, on travaille avec des lacets n'est-ce pas ?

oui !


cycle=lacet ?

(sinon, je ne sais pas trop ce qu'un cycle)

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Lacets et intégrales 13-02-07 à 00:14

On a vu qu'une chaîne est tout ensemble fini de chemins. Si on travaille avec des lacets, on dit alors que la châine est un cycle.

Sauf erreur vu que c'est neuf...

Merci kaiser et bonne nuit

Je regarderai le reste demain

Posté par
kaiser Moderateurre : [Analyse] Lacets et intégrales 13-02-07 à 00:18

Bonne nuit à toi aussi !

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 21:59

Re kaiser

Je continue de chercher et te dis ce que je trouve

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 22:07

Est-ce qu'ici on a une superposition de deux lacets : oui ?

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 22:08

Bah oui !!

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 22:11

En fait je dois trouver 4$\gamma_1(t) et 4$\gamma_2(t) (un 4$\gamma pour chaque cercle)

Mais on fait comment ça ?

Ensuite, on utilise la formule de Cauchy

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 22:16

Je préfère écrire 4$\int_{\gamma} \frac{exp{i\pi u}{(u-1)^2}du pour la suite

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 22:17

Je préfère écrire 4$\int_{\gamma} \frac{exp{i\pi u}}{(u-1)^2}du

Pardon

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 22:18

Voilà j'ai trouvé, il ne me reste plus qu'à répondre à mon post de 22h11 et c'est gagné

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 22:21

Ah je crois avoir trouvé

Posté par
kaiser Moderateurre : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 22:22

Pour paramétrer un cercle de centre 0, comment fait-on généralement ?

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 22:24

Le cercle de centre 4$a_0 et de rayon 4$R est définie par l'application 4$t->a_0+Rexp{i\lambda t} non ?

Mais on ne sait pas combien de fois on parcourt le cercle ici

Posté par
kaiser Moderateurre : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 22:29

bah une seule fois !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 22:29

Ok donc dans ce cas c'est parfais j'ai tout ce qu'il me faut !


Merci beaucoup kaiser !

Posté par
kaiser Moderateurre : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 22:32

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 22:36

Si c'est dans le sens trigo je prends 4$\lambda=1

Si c'est dans le sens horaire, je prends 4$\lambda=-1

c'est bien ça ?

Posté par
kaiser Moderateurre : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 22:42

C'est ça.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 22:45

Ok merci

Donc j'obtients :

4$4\pi^2(ind_{\gamma_1}(1))=\int_{\gamma_1} \frac{exp{i\pi u}}{(u-1)^2}du

Or, 4$ind_{\gamma_1}(1)=\frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{2\pi} \frac{2i exp{it}}{2exp{it}-1}dt

Comment je calcule ça ?

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 22:48

C'est quel cercle \Large{\gamma_{1}} ?

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 22:49

Euh pardon c'est celui de centre 0 et de rayon 2

Posté par
kaiser Moderateurre : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 22:54

Je ne sais pas si tu as déjà fait l'homotopie.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 22:55

Euh pas encore : c'est grave docteur ?

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 22:56

Posté par
kaiser Moderateurre : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 23:00


Je ne sais pas vraiment ce qu'est l'homologie et les cycles homologues mais peut-être qu'il y en ici. peut-être y a-t-il un résultat de cours concernant les cycles homologues et les intégrales sur des chemins (dui genre, si on intégre sur deux chemins homologues, on ne change pas la valeur de l'intégrale).

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 23:04

Exactement, si 4$\gamma et 4$\gamma^' sont homologues, alors 4$\int_{\gamma}f(u)du=\int_{\gamma^'}f(u)du

Mais deux chemins sont homologues dans 4$\Omega si pour tout 4$a \in \Omega, ind_{\gamma}(a)=ind_{\gamma^'}(a)

Vois-tu un moyen de calculer cette intégrale ?

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 23:05

Ah on peut trouver un autre chemin qui rendrait le calul plus facile...

Posté par
kaiser Moderateurre : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 23:10

Essaie de montrer que \Large{\gamma_{1}} et le cercle de centre 1 et de rayon 1 sont homologues.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 23:11

ok je regarde ça

Tu as trouvé de ton côté ?

Posté par
kaiser Moderateurre : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 23:13

Citation :
Tu as trouvé de ton côté ?


oui en me servant de l'homotopie !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 23:30

Bon si ça ne te déranges pas je verrai cela demain

Je préfère te montrer le résultat du prof sur l'autre topic

Posté par
kaiser Moderateurre : [Analyse] Lacets et intégrales 17-02-07 à 23:31

OK !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Lacets et intégrales 18-02-07 à 23:47

re kaiser,

Je viens de me familiariser un peu avec l'homotopie : pas envie de dormir

Peux-tu m'expliquer comment tu procédes pour calculer par exemple du message de 22h45

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : [Analyse] Lacets et intégrales 18-02-07 à 23:55

OK !
\Large{\gamma_{1}} est le cercle de centre 0 et de rayon 2.
On "voit" que ce cercle est homotope dans \Large{\mathbb{C}-\{1\}} au cercle de centre 1 et de rayon 2 (en gros, on peut déformer et déplacer continument le premier lacet pour arriver à l'autre) et donc on voit alors que l'indice du premier lacet par rapport à 1 vaut 1.
Mais bon, on peut s'en sortir sans l'homotopie en faisant un bon développement en série entière.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Lacets et intégrales 19-02-07 à 00:08

Oui ok j'ai vu la notion de déformation !

C'est très clair merci.

Citation :
Mais bon, on peut s'en sortir sans l'homotopie en faisant un bon développement en série entière.


Ca donne pas envie quand même

Posté par
kaiser Moderateurre : [Analyse] Lacets et intégrales 19-02-07 à 00:14

je t'assure que c'est pas aussi terrible que ça ! (développement en série entière et interversion assurée par la convergence normale)

Kaiser

Posté par
ottore : [Analyse] Lacets et intégrales 19-02-07 à 03:24

Salut Kaiser,
ici je ne comprend pas pourquoi tu n'utilises pas la formule de Cauchy.

Posté par
kaiser Moderateurre : [Analyse] Lacets et intégrales 19-02-07 à 11:00

salut otto (ça faisait longtemps )

En fait, le problème est que la formule de Cauchy faut intervenir l'indice du lacet par rapport à un certain point et c'est précisément cet indice qu'il faut calculer.
fisonfroide, n'ayant pas vu que l'indice ne change pas par homotopie, il fallait donc se débrouiller autrement !
Voilà tout !

Kaiser


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