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Analyse numérique [3ème année de licence]

Posté par Samy (invité) 29-12-04 à 16:20

Bonjour à tous!
Voilà les partiels approchent et j'ai un problème de bonne rédaction ( et de résolution aussi ) pour des exos que je travaille. Pourriez-vous m'aider?
Voici l'énoncé :
Soit E l'espace vectoreil des polynômes à coef réels de degré inférieur ou égal à 2. On considère sur E les formes linéaires suivantes:
h1: P->P(-2) ; h2: P->P(-1) ; h3: P->P(2)-P(1)
1) Déterminer une base (P1, P2, P3 ) dont la base duale est exactement h1, h2, h3.
Soit f une fonction de Classe C^3 sur [-2;2]
a)Déterminer un polynôme P tel que :
P(-1)=f(-1) P(-2)=f(-2) P(2)-P(1)=f(2)-f(1)
Ce polynôme est-il unique ?
b) Soit Q(X)=(X+1)(X+2)(X-3) vérifier que Q(-2)=Q(-1)=Q(2)-Q(1)=0
c) Démontrer la formule d'erreur :
\exists \eps_{x} \in ]-2,2[,  f(x)-P(x)=Q(x) \frac{f^{(3)}(\eps_{x})}{3!}
indication : on pourra considérer la fonction g:t->f(t)-P(t)-AQ(t) et montrer que l'ont peut choisir la constante A pour que g' s'annule en au moins deux points de l'intervalle ]-2,-1[ et utiliser le théorème de Rolle pour montrer que g' s'annule une fois sur l'intervalle ]1,2[.
3) Déterminer les coefficients de la formule d'intégration:
pour les intégrales :
\int_0^{1} f(x) dx = \lambda_1f(-2) + \lambda_2f(-1) + \lambda_3 (f(2)-f(1))
pour qu'elle soit exacte pour les polynômes de E.
4) On utilise cette formule de quadrature dans une méthode composée par le calcul approchée de \int_a^{b} f(t) dt utilisant les points x_i = a +i \frac{b-a}{N} et on note h=x_i+1 - x_i = \frac{b-a}{N}
Ecrire la formule donnant la valeur approchée de cette intégrale.
5) Soit f \in C^\infty(R), l'erreur commise est d'ordre h^K. Déterminer la valeur de K.
Voilà l'exercice au complet. Les questions qui me posent réellement des problèmes sont la 1)c) le 4) et la 5). Pour les autres, je pense avoir trouver les valeurs demandées mais si vous avez la patience de les traiter pour que je vérifie c'est pas de refus.
J'espère que vous pourrez m'aider D'avance merci

Posté par
franzre : Analyse numérique [3ème année de licence] 29-12-04 à 21:19

1/
La base recherchée est telle que h_i(P_j)=\delta_{ij} \hspace{40}(i,j)\in[[1,3]]^2

Soit P un polynônme de coordonnées (a,b,c) dans la base canonique ( P(X)=aX^2+bX+c )
\{ \array{ccccc$h_1(P) & = & P(-2) & = & 4a-2b+c \\ h_2(P) & = & P(-1) & = & a-b+c \\ h_3(P) & = & P(2)-P(1) & = & 3a+b }
Soit A la matrice
A = \( \array{c20c20c20$ 4& -2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 } \)
Les coordonnées des vecteurs de la base duale sont le vecteurs colonnes de l'inverse de A.
On obtient ainsi
\{ \array{cc10l150$P_1(X) & = & \frac 1 6 (X^2-3X-4) \\ P_2(X) & = & \frac 1 6 (-X^2+3X+10) \\ P_3(X) & = & \frac 1 6 (X^2+3X+2) }

2a/
Par définition de la base duale, le polynôme  P=f(-2)P_1+f(-1)P_2+(f(2)-f(1))P_3  convient

Ce polynôme n'est pas unique (cf question suivante) mais il est unique sur {\mathbb R}_2[X] (comparaison des dimensions et surjectivité).

2b/
RAS

2c/
Comme indiqué considérons la fonction g.

g'(-2)=f'(-2)-P'(-2)-A Q'(-2) = f'(-2)-P'(-2)-5A

Si A>\frac {f'(-2)-P'(-2)} 5 , g'(-2)<0.
\Longrightarrow \; \exists \eta \in ]0,1[ \rm{ tel que } \forall x \in [-2,-2+\eta], g'(x)<0
\Longrightarrow \; \exists x_1 \in [-2,-2+\eta],  \rm{ tel que } g(x_1)<0


g'(-1)=f'(-1)-P'(-1)-A Q'(-1) = f'(-1)-P'(-1)+4A
Si A>max\(\frac {f'(-1)-P'(-1)} 4,\frac {f'(-2)-P'(-2)} 5\) , g'(-1)>0.
de même,
\Longrightarrow \; \exists x_2 \in ]x0,-1[,  \rm{ tel que } g(x_2)>0

Bilan : A>max\(\frac {f'(-1)-P'(-1)} 4,\frac {f'(-2)-P'(-2)} 5\) \;\Longrightarrow \; \exists (x_1,x_2) \in ]-2,-1[, \rm{ tel que \{ \array{-2<x_1<x_2<-1\\ g(x_2)>0\\g(x_1)<0}


Par le théorème des valeurs intemédiaires
\exists (x_0) \in ]x_1,x_2[, \rm{ tel que g(x_0)=0}

Par le théorème de Rolle,
\bullet g' s'annule au moins une fois sur ]-2,x_0[ (en y_1) , sur ]x_0,-1[ (en y_2), et sur ]1,2[ (en y_3).
\bullet g'' s'annule au moins une fois sur ]y_1,y_2[ (en z_1) et sur ]y_2,y_3[ (en z_2).
\bullet g''' s'annule au moins une fois sur ]z_1,z_2[ (en \varepsilon_x)

Or
\begin{tabular}{ccc} g^{'''}(\varepsilon_x) = 0 & \; \Longleftrightarrow \; & f^{'''}(\varepsilon_x)-P^{'''}(\varepsilon_x)-A Q^{'''}(\varepsilon_x) = 0 \\ & \; \Longleftrightarrow \; & f^{'''}(\varepsilon_x)- 0 -A .3! = 0 \\ & \; \Longleftrightarrow \; & A = \frac { f^{'''}(\varepsilon_x)}{3!} \end{tabular}

D'où le résultat.






Posté par
franzre : Analyse numérique [3ème année de licence] 29-12-04 à 22:34

3/

Par définition de la base duale :
\forall f \in {\mathbb R}_2[X]\;\;f(X)=f(-2)P_1(X)+f(-1)P_2(X)+(f(2)-f(1))P_3(X)

En intégrant, on obtient que
\forall i \in [[1,3]]\;\; \lambda_i=\Bigint_0^1 P_i(x)dx

Ontrouve ainsi
\large \{ \array{ccr$ \lambda_1 & = & -\frac {31}{36} \vspace{25} \\ \lambda_2 & = & \frac {67}{36} \vspace{25} \\ \lambda_3 & = & \frac {23}{36}}

Posté par
franzre : Analyse numérique [3ème année de licence] 29-12-04 à 23:14

4/

\Bigint_a^b f(x)dx = \Bigsum_{i=0}^{N-1} \Bigint_{x_i}^{x_i+h} f(x)dx

En approchant f par un polynôme de degré 2 dans l'intervalle ]x_i,x_i+h[, il faut faire le changement de variable x=x_i+\frac t N et appliquer la formule du 3/

On parvient à
\Bigint_{x_i}^{x_i+h} f(x)dx = \frac 1 N \Bigint_{0}^{1} f(x_i+\frac t N)dt \approx \frac 1 N \( {\lambda_1 f(x_i+\frac {-2} N)\,+\,\lambda_2 f(x_i+\frac {-1} N)}\,+\,\lambda_3 (f(x_i+\frac {2} N) - f(x_i+\frac {1} N) \)
\hspace{200} = \frac 1 N \( -\frac {31}{36} f(x_{i-2}) + \frac {67}{36} f(x_{i-1}) + \frac {23}{36} (f(x_{i+2}) - f(x_{i+1}) )\)


Il faut ensuite regrouper les mêmes indices. dans le signe \Bigsum

Pour N assez grand (>4), j'arrive à
\Bigint_{a}^{b} f(x)dx \approx \frac 1 N \( -\frac {31}{36} f(x_{-2}) + f(x_{-1}) + f(x_0) + \frac {13}{36} f(x_1) + \Bigsum_{i=2}^{N-3} f(x_i) + \frac {67}{36} f(x_{N-2}) + \frac {23}{36} f(x_{N+1}) \)

(il se peut que je me sois trompé dans les indices, j'ai fait ça de tête)

Posté par
franzre : Analyse numérique [3ème année de licence] 30-12-04 à 08:45

En relisant ma réponse pour la 4° question, je m'aperçois que je me suis trompé sur le changement de variable x=x_i+\frac t N. Il faut lire \red x=x_i+\frac {b-a} N t et cela conduit à remplacer les termes en \frac 1 N par \frac {b-a} N

Posté par
franzre : Analyse numérique [3ème année de licence] 30-12-04 à 10:18

5/


\array{cccccc $ \Bigint_{x_i}^{x_{i+1}} f(x)dx = F(x_{i+1}) - F(x_i) & = & h f(x_i) & + & \frac {h^2} 2 f'(x_i) & + & \frac {h^3} {3!} f''(x_i) & + & \frac {h^4} {4!} f'''(x_i) & + & o(h^4) \\ f(x_{i-2}) & = & f(x_i) & - & 2h f'(x_i) & + & 2h^2 f''(x_i) & - & \frac {8h^3} {6} f'''(x_i) & + &o(h^3) \\ f(x_{i-1}) & = & f(x_i) & - & h f'(x_i) & + & \frac{h^2} 2 f''(x_i) & - & \frac {h^3} {6} f'''(x_i) & + &o(h^3) \\ f(x_{i+1}) & = & f(x_i) & + & h f'(x_i) & + & \frac {h^2} 2 f''(x_i) & + & \frac {h^3} {6} f'''(x_i) & + &o(h^3) \\ f(x_{i+2}) & = & f(x_i) & + & 2h f'(x_i) & + & 2h^2 f''(x_i) & + & \frac {8h^3} {6} f'''(x_i) & + &o(h^3) \\\hline \Bigint_{x_i}^{x_{i+1}} f(x)dx - h\( -\frac {31}{36} f(x_{i-2}) + \frac {67}{36} f(x_{i-1}) + \frac {23}{36} (f(x_{i+2}) - f(x_{i+1}) )\) & = & & &- \frac{37}{24}h^4f'''(x_i)}}


Sur chaque intervalle ]x_i,x_i+h[, on introduit une erreur en h^4.
En sommant sur N intervalles, l'erreur est d'ordre \red h^3


(Il y a sûrement plus élégant mais je n'ai pas trouvé.)

Posté par Samy (invité)re : Analyse numérique [3ème année de licence] 08-01-05 à 17:48

avec du retard merci bcp Mais dans la deuxième question, pouvait-on utiliser la formule p_n=\sum_{i=1}^nL_i(x)f(x_i)?
Si c'est le cas, on doit bien considérer 4 points (-2,-1,1,2) puis calculer chaque polynôme L_i de la manière suivante :
L_i(x)=\prod_{j=0}^3 \frac{(x-x_j)}{(x_i-x_j)}
J'ai essayé avec cela et je me retrouve avec P = S_1f(-2)+S_2f(-1)+S_3f(1)+S_4f(2) sachant que deg S_i=3
Merci d'avance

Posté par
franzre : Analyse numérique [3ème année de licence] 08-01-05 à 18:50

Bonsoir Samy,

J'ai eu peur que mes réponses soient passées aux oubliettes.
Pour  ce qui concerne les polynômes d'interpolation de Lagrange, ta réponse est efectivement correcte mais met en oeuvre des polynômes de degré 3 alors qu'un degré 2 est suffisant et est dans l'esprit du problème.

Posté par Samy (invité)re : Analyse numérique [3ème année de licence] 08-01-05 à 19:16

Eh bien je te remercie de ton aide précieuse
Pour ce qui est du retard, en fait j'étais parvenue à résoudre le problème finalement en me posant tranquillement donc j'avais un peu zappé de revenir.
Merci encore et j'en profite pour te souhaiter une bonne Année

Posté par
franzre : Analyse numérique [3ème année de licence] 09-01-05 à 13:56

Il n'y a pas de souci.
Bonne année à toi aussi.


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