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Analyse numérique

Posté par
matheux14 14-01-23 à 09:05

Bonjour,

Merci d'avance.

I- Soit f une fonction de classe C^2 sur un intervalle [a, b] de \R. On pose I = \int^b_a f (t) dt et on note M_2 = \max |f'' (x)|; ~~ x \in [a, b]).

1- En faisant une intégration par partie montrer que I = (b - a) \dfrac{f(a)+f(b)}{2} + \displaystyle \int^b_a \dfrac{(t-a)(t-b)}{2} f'' (t) dt.

2- Calculer \displaystyle \int^b_a \dfrac{(t-a)(t-b)}{2} dt

3- On fixe n \ge 1, et on pose a_k = a + k \dfrac{b - a}{n}.

On note I_n la valeur approchée de I obtenue par la méthode des trapèzes avec n subdivisions.

a-) Écrire la formule de la méthode des trapèzes pour I_n en fonction des a_k.

b-) Montrer que |I - I_n| \le \dfrac{M_2(b - a)^3}{12 n^2}

Application.

II-) On pose f(t) = \ln(t) définie sur l'intervalle [a, b] = [1, 2] et n le nombre de subdivisions de l'intervalle [a, b].

1-) Calculer \int^2_1 f(t) dt.

2-) Calculer I_3, la valeur approchée de I par la méthode des trapèzes avec n = 3.

3-) Montrer que l'erreur E(f) = |I-I_3| est majorée par une constante K à déterminer.


Pour la première question j'ai posé

u = f(t) et v' = 1 mais je ne tombe pas sur le résultat demandé.

J'ai alors posé u = 1 et v' = f(t) mais toujours pas.

Posté par
larrechre : Analyse numérique 14-01-23 à 10:31

Bonjour,

Juste en passant.

Je n'ai pas fait le calcul jusqu'au bout, mais je commencerais par calculer I de 2 façons.

L'une en posant u=t-a, l'autre v=b-t.

Posté par
matheux14re : Analyse numérique 14-01-23 à 12:25

Je ne comprends pas..

En posant u = t - a

t = u + a

Donc f(t) = f(u + a)

Comme ça ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Analyse numérique 14-01-23 à 14:00

Bonjour

1- C'est en fait une double intégration par partie :

dans la première poser u'(t)=1 , u(t)=t-\frac{a+b}{2} , v(t)=f(t) , v'(t)=f'(t)

Posté par
matheux14re : Analyse numérique 14-01-23 à 14:26

Ah d'accord

J'arrive à I = \left(t - \dfrac{a + b}{2}\right)f(t) - \int^b_a  \left(t - \dfrac{a + b}{2}\right)f'(t) dt

Posté par
matheux14re : Analyse numérique 14-01-23 à 14:35

Oups

J'arrive à I = \left[\left(t - \dfrac{a + b}{2}\right) f(t)\right]^b_a - \int^b_a  \left(t - \dfrac{a + b}{2}\right)f(t) dt

I = (b - a) \dfrac{f(a) + f(b)}{2}- \int^b_a  \left(t - \dfrac{a + b}{2}\right)f(t) dt

Posté par
larrechre : Analyse numérique 14-01-23 à 14:36

Je laisse bien évidemment la place à elhor_abdelali

Mon idée était de calculer I de 2 façons différentes (voir les changements de variables proposés) par une première IPP.
On faisait ensuite la somme des 2, ce qui donnait:

I=(b-a)\dfrac{f(a)+f(b)}{2}-\dfrac{1}{2}\int_0^{b-a}u f'(u+a) du+\dfrac{1}{2}\int_0^{b-a}vf'(b-v) dv

puis on revient en t dans les intégrales et deuxième IPP. Et là on est conduit à primitiver 2t-a-b, mais il ne faut pas prendre la première primitive venue...

Posté par
matheux14re : Analyse numérique 14-01-23 à 14:40

matheux14 @ 14-01-2023 à 14:35

Oups

J'arrive à I = \left[\left(t - \dfrac{a + b}{2}\right) f(t)\right]^b_a - \int^b_a  \left(t - \dfrac{a + b}{2}\right)f'(t) dt

I = (b - a) \dfrac{f(a) + f(b)}{2}- \int^b_a  \left(t - \dfrac{a + b}{2}\right)f'(t) dt

Posté par
matheux14re : Analyse numérique 14-01-23 à 14:48

Cette fois ci je pose

u_1 = f'(t) ~~~;~~~ u_1 ' = f''(t)

v_1' = t - \dfrac{a + b}{2} ~~~;~~~ v_1 = \dfrac{t²}{2} - \dfrac{a + b}{2}t

?

Posté par
larrechre : Analyse numérique 14-01-23 à 14:53

Citation :
... il ne faut pas prendre la première primitive venue...

Bon, là je m'en vais.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Analyse numérique 14-01-23 à 17:46

on a aussi \Large\boxed{v_1' = t - \dfrac{a + b}{2} ~~~;~~~ v_1 = \dfrac{t²}{2} - \dfrac{a + b}{2}t+\frac{ab}{2}=\frac{(t-a)(t-b)}{2}}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Analyse numérique 14-01-23 à 17:51

Désolé pour l'intrusion larrech je voulais juste faire remarquer l'utilité éventuelle du choix astucieux des constantes d'intégration !

Posté par
larrechre : Analyse numérique 14-01-23 à 18:13

Pas de problème, elhor_abdelali , la constante d'intégration bien choisie, c'était ce que je voulais suggérer dans ma dernière remarque, sans doute trop elliptique...

Posté par
matheux14re : Analyse numérique 14-01-23 à 18:50

Ok çà marche.

3-a) On a  \Large I_n = \int^b_a f(t) dt = \dfrac{h}{2} \left[f(a) + f(b) + 2 \sum\limits^{n - 1}_{k = 1}f(a + k h)\right] avec h = \dfrac{b - a}{n}

Pour n = 3 on a : \Large I_3 = \int^b_a f(t) dt = \dfrac{h}{2} \left[f(a) + f(b) + 2 \sum\limits^{n - 1}_{k = 1}f(a + k h)\right] avec h = \dfrac{b - a}{3}

\Large I_3 = \dfrac{2}{3}(b - a)\left[f(a) + f(b) + 2 \sum\limits^{2}_{k = 1}f \left(a + k \dfrac{b - a}{3}\right)\right]

\Large I_3 = \dfrac{2}{3}(b - a)\left[f(a) + f(b) + 2 \left[f \left(a + \dfrac{b - a}{3} \right) + f \left(a + \dfrac{2}{3}(b - a)\right)\right]\right]

\Large I_3 = \dfrac{2}{3}(b - a)\left[f(a) + f(b) + 2 \left(f \left(a_1 \right) + f \left(a_2\right)\right]

b) Je bloque

Posté par
matheux14re : Analyse numérique 14-01-23 à 18:59

matheux14 @ 14-01-2023 à 18:50

Ok çà marche.

3-a) On a  \Large I_n = \int^b_a f(t) dt = \dfrac{h}{2} \left[f(a) + f(b) + 2 \sum\limits^{n - 1}_{k = 1}f(a + k h)\right] avec h = \dfrac{b - a}{n}

\Large I_n = \int^b_a f(t) dt = \dfrac{h}{2} \left[f(a) + f(b) + 2 \sum\limits^{n - 1}_{k = 1}f(a + k h)\right] avec h = \dfrac{b - a}{n}

\Large I_n = \dfrac{2}{n}(b - a)\left[f(a) + f(b) + 2 \sum\limits^{n - 1}_{k = 1}f \left(a + k \dfrac{b - a}{n}\right)\right]

\Large I_n = \dfrac{2}{n}(b - a)\left[f(a) + f(b) + 2 \left[f \left(a + \dfrac{b - a}{n} \right) + f \left(a + 2\dfrac{b - a}{n}\right) + \dots + f \left(a + (n - 1)\dfrac{(b - a)}{n}\right) \right]\right]

\Large I_n = \dfrac{2}{n}(b - a)\left[f(a) + f(b) + 2 \left(f \left(a_1 \right) + f \left(a_2\right) + \dots + f(a_{n - 1})\right) \right]

b) Je bloque

Posté par
carpediemre : Analyse numérique 14-01-23 à 19:34

salut

il y a des erreurs à 18h50 :

ligne 1 : ce n'est pas  =  mais  

ligne 2 : si n = 3 il n'y a plus de n ensuite

ligne 3 : d'où sort ce 2/3 ?

et si c'est bien 2/3 alors les coefficients de f(a) et f(b) restent-ils à 1 ?

dernière ligne : pourquoi a_1 et a_2 et pas simplement la valeur simplifiée de la variable ?

je m'en vais ...

Posté par
larrechre : Analyse numérique 14-01-23 à 19:35

Citation :
\Large I_n = {\int^b_a f(t) dt= \dfrac{h}{2} \left[f(a) + f(b) + 2 \sum\limits^{n - 1}_{k = 1}f(a + k h)\right] avec h = \dfrac{b - a}{n}


C'est incorrect I_n est une approximation de I, il n'y a pas égalité

On peut songer à appliquer la formule démontrée en 1/ à chaque intervalle [a_k, a_{k+1}] et recoller les morceaux

Posté par
matheux14re : Analyse numérique 14-01-23 à 19:59

Ok

Donc au final

\Large I_n \approx \dfrac{2}{n}(b - a)\left[f(a) + f(b) + 2 \left(f \left(a_1 \right) + f \left(a_2\right) + \dots + f(a_{n - 1})\right) \right]

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Analyse numérique 14-01-23 à 20:59

Oui matheux c'est comme a dit larrech la méthode des trapèzes avec n subdivisions (régulières)

consiste à approcher pour chaque entier 0\leqslant k\leqslant n-1 la quantité \int_{a_k}^{a_{k+1}}f(t)dt par la quantité (a_{k+1}-a_k)\dfrac{f(a_k)+f(a_{k+1})}{2}

et comme tu l'as vu de la première question l'erreur est \displaystyle \int_{a_k}^{a_{k+1}} \dfrac{(t-a_k)(t-a_{k+1})}{2} f'' (t) dt

erreur que l'on peut majorer (en valeur absolue) par M_2\int_{a_k}^{a_{k+1}} \dfrac{(t-a_k)(a_{k+1}-t)}{2}dt

pour calculer cette dernière (question 2) on peut faire le changement de variable u=t-\frac{a_k+a_{k+1}}{2} ce qui donne

M_2\int_{a_k}^{a_{k+1}} \dfrac{(t-a_k)(a_{k+1}-t)}{2}dt=M_2\int_{-\frac{a_{k+1}-a_k}{2}}^{\frac{a_{k+1}-a_k}{2}} \dfrac{(\frac{a_{k+1}-a_k}{2})^2-t^2}{2}dt=M_2\int_0^{\frac{a_{k+1}-a_k}{2}}\left((\frac{a_{k+1}-a_k}{2})^2-t^2}\right)dt=M_2\frac{(b-a)^3}{12n^3}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Analyse numérique 14-01-23 à 21:08

et il suffit ensuite d'écrire :

\Large\boxed{|I-I_n|=\left|\sum_{k=0}^{n-1}\int_{a_k}^{a_{k+1}}f(t)dt-(a_{k+1}-a_k)\dfrac{f(a_k)+f(a_{k+1})}{2}\right|\leqslant\sum_{k=0}^{n-1}\left|\int_{a_k}^{a_{k+1}}f(t)dt-(a_{k+1}-a_k)\dfrac{f(a_k)+f(a_{k+1})}{2}\right|}

ce qui donne :

\Large\boxed{|I-I_n|\leqslant\sum_{k=0}^{n-1}M_2\frac{(b-a)^3}{12n^3}=M_2\frac{(b-a)^3}{12n^2}} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
matheux14re : Analyse numérique 14-01-23 à 22:00

elhor_abdelali

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Analyse numérique 14-01-23 à 22:10

C'est un plaisir matheux

le mérite est aussi à larrech


matheux \to Qu'as tu fait pour l'Application ?

Posté par
matheux14re : Analyse numérique 14-01-23 à 23:08

Merci à vous

Je vais écrire mes résultats pour l'application.


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