Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
Soit f une fonction dérivable sur l'intervalle [0,1]
1)soit L(x) le polynôme d'interpolation de Lagrange tel que L(0)=f(0) , L(1)=f(1) . Calculer le polynôme L(x)
2)soit H(x) le polynôme d'interpolation qui vérifie les données :
H(0)=f(0) , H(1)=f(1), H'(0)=f'(0) , H'(1)=f'(1)
a) Montrer qu'il existe un polynôme Q(x) tel que H(x)=L(x)+x(x-1)Q(x)
b) Calculer Q(0) et Q(1) .En déduire Q(x) puis H(x)
3) En approchant l'intégrale
Par , déduire la formule de quadrature :
4) Quel est l'ordre de cette formule de quadrature ?(justifier votre réponse)
mes réponses
1)
2-a) pour montrer l'existence de Q on peut calculer H'(x)
H'(x)=L'(x)+(2x-1)Q(x)+x(x-1)Q'(x)
*H'(0)=L'(0)-Q(0)
H'(1)=L'(1)+Q(1)
Pour que H'(0)=f'(0) et H'(1)=f'(1),il faut que
->L'(0)-Q(0)=f'(0) et L'(1)+Q(1)=f'(1)
b) on a L'(x)=-f(0)+f(1)
*L'(0)-Q(0)=f'(0)
L'(1)+Q(1)=f'(1)
-->
-f(0)+f(1)-Q(0)=f'(0) (1)et
-f(0)+f(1)+Q(1)=f'(1) (2)
(1)-(2) :
Q(0)+Q(1)=f'(1)-f'(0)
Merci beaucoup
salut
2/ je suis étonné par l'article le : je ne vois pas pourquoi H serait unique ...
ce qu tu fais ne vas pas
H et L sont deux polynomes prenant les mêmes valeurs en 0 et en 1
que peut-on alors dire du polynome H - L ?
2b/ je ne vois pas explicitement les images de 0 et 1 par Q
tu as l'indication :
Salut Mathes1, si les polynômes H et L prennent les mêmes valeurs en 0 et en 1, cela signifie que leur différence, H - L, s'annule en ces points.
Prends par exemple et
(en 0 et 2).
Maintenant, si tu veux tu peux le démontrer pour des valeurs quelconques a et b.
f(x) et g(x) sont deux fonctions distinctes.
f(a) = g(a) (les fonctions prennent la même valeur en a).
f(b) = g(b) (les fonctions prennent la même valeur en b).
(f - g)(a) = f(a) - g(a) (par définition de la différence de fonctions, on effectue des opérations sur les fonctions de la même manière que l'on effectue des opérations sur les nombres.)
= g(a) - g(a) (car f(a) = g(a))
= 0 (tout nombre moins lui-même est égal à zéro)
(f - g)(b) = f(b) - g(b) (par définition de la différence de fonctions)
= g(b) - g(b) (car f(b) = g(b))
= 0
Je te laisse donc conclure..
Oui, en d'autres termes, on a :
(H - L)(0) = H(0) - L(0) = 0
(H - L)(1) = H(1) - L(1) = 0
Ce qui indique que le polynôme H - L possède des racines en 0 et en 1, donc il est divisible par (x - 0) et (x - 1). Ainsi, le polynôme H - L peut être écrit sous la forme :
H - L = x(x - 1)Q(x)
où Q(x) est un autre polynôme.
Merci matheux14
Pour 2-b)
On a H(x)=L(x)+x(x-1)Q(x)
Donc H'(x)=L'(x)+(2x-1)Q(x)+x(x-1)Q'(x)
Et L'(x)=-f(0)+f(1)
Merci
Il faut dérivé f aussi ?
L'(x)=-f(0)+f'(0)(x-1)+f(1)+f(1)x
Et H'(x)=L'(x)+(2x-1)Q(x)+x(x-1)Q'(x)
Donc
H'(x)=-f(0)+f'(0)(x-1)+f(1)+f(1)x+L'(x)+(2x-1)Q(x)+x(x-1)Q'(x)
Donc
*H'(1)=L'(1)+Q(1)
**H'(0)=L'(0)-Q(0)
Et
*L'(1)=-f(0)+f(1)+f'(1)
**L'(0)=-f(0)+f(1)-f'(0)
<-->
**H'(1)=-f(0)+f(1)+f'(1)+Q(1)
**H'(0)= -f(0)+f(1)-f'(0)-Q(0)
Avec H'(1)=f'(1) et H'(0)=f'(0)
Donc
**f(0)-f(1)=Q(1)
**-2f'(0)-f(0)+f(1)=Q(0) et f'(0)=H'(0)
Merci
Verifie tes calculs..
L(x) = (1 - x) f(0) + x f(1)
L'(0) = -f(0) + (1 - x) f'(0) + f(1) + x f'(1)
H'(x) = -f(0) + (1 - x) f'(0) + f(1) + x f'(1) + (2x - 1)Q(x) + x(x - 1) Q'(x)
continues maintenant..
Bonjour
Bonjour
Pour trouver le polynôme Q(x) à partir des valeurs Q(0) = f(1) - f(0) et Q(1) = f(0) - f(1), nous pouvons utiliser l'approche suivante :
Nous savons que Q(x) est un polynôme de degré au plus 1, donc nous pouvons l'exprimer sous la forme générale Q(x) = ax + b.
Substituons x = 0 dans cette expression :
Q(0) = a * 0 + b = b
Nous avons Q(0) = f(1) - f(0), donc nous pouvons écrire :
b = f(1) - f(0)
Maintenant, substituons x = 1 dans Q(x) = ax + b :
Q(1) = a * 1 + b = a + b
Nous avons Q(1) = f(0) - f(1), donc nous pouvons écrire :
a + b = f(0) - f(1)
Maintenant, nous avons un système d'équations à deux inconnues (a et b) :
b = f(1) - f(0)
a + b = f(0) - f(1)
Donc :
a + b - b = (f(0) - f(1)) - (f(1) - f(0))
a = -2 * (f(1) - f(0))
Ainsi, nous avons trouvé la valeur de a. Maintenant, substituons cette valeur dans la première équation pour trouver b :
b = f(1) - f(0)
Donc, nous avons maintenant les valeurs de a et b, ce qui nous permet de déterminer le polynôme Q(x) :
Q(x) = ax + b
= (-2 * (f(1) - f(0))) * x + (f(1) - f(0))
Par conséquent, le polynôme Q(x) est donné par :
Q(x) = (-2 * (f(1) - f(0))) * x + (f(1) - f(0))
Merci
Bonjour
La relation :
Q(x) = (-2 * (f(1) - f(0))) * x + (f(1) - f(0))
Vérifie bien que :Q(0)=f(1)-f(0) ;
Q(1)=f(0)-f(1)
Je ne sais pas autre méthode
Merci
Le problème c'est
alors peux-tu nous résumer proprement !!
L(x) = [f(1) - f(0)]x + f(0)
H(x) = L(x) + x(x - 1)Q(x)
Q(0) = ............... ?
Q(1) = ............... ?
ensuite il reste les conditions H'(0) = f'(0) et H'(1) = f'(1)
qu'est-ce que ça donne ?
donc déjà nous redonner proprement H'(x) = .... ?
Bonjour
bon tu ne veux pas le faire ....
REM : L'(x) est simplement la pente de la droite représentant L et passant par les points de coordonnées (0, f(0)) et (1, f(1))
Salut, dans le calcul de la dérivée de L(x), f(0) et f(1) sont des constantes donc leurs dérivées sont nulles. La dérivée de L(x) est donnée par :
L'(x) = -f(0) + f(1)
Résultat indubitable car le polynôme d'interpolation de Lagrange L(x) est construit de telle manière qu'il passe par les points de données (0, f(0)) et (1, f(1)). La dérivée de L(x) donne donc la pente de cette droite.
Et en utilisant la formule générale pour la dérivée du polynôme d'interpolation de Lagrange, on a bien :
L'(x) = (f(1) - f(0))/(1 - 0)
Pourtant dans la formule de Q(0) et Q(1), f'(0) et f'(1) ne sont pas nulles ?
Bonjour
Maintenant que nous avons trouvé les expressions de Q(0) et Q(1), nous pouvons déterminer Q(x) :
Q(x) = [Q(1) - Q(0)]/(1 - 0) * (x - 0) + Q(0)
= [f'(1) - f(1) + f(0) - (f(1) - f(0) - f'(0))] * x + (f(1) - f(0) - f'(0))
Simplifiant cette expression, nous obtenons :
Q(x) = (f'(0) - f'(1)) * x + (2f(1) - f(0) - f'(0))
Maintenant, nous pouvons calculer H(x) en utilisant les valeurs de L(x) et Q(x) :
H(x) = L(x) + x(x - 1)Q(x)
= ([f(1) - f(0)]x + f(0)) + x(x - 1) * [(f'(0) - f'(1)) * x + (2f(1) - f(0) - f'(0))]
Merci
Bonjour
Pour 3)
Pour approximer l'intégrale, nous allons appliquer la formule de quadrature. La formule générale de quadrature utilisée ici est appelée la formule de Simpson, qui est basée sur l'interpolation polynomiale.
La formule de quadrature de Simpson pour approximer l'intégrale est donnée par :
où est le pas d'intégration et (n ) est le nombre de subdivisions.
Dans notre cas, nous avons a = 0 et (b = 1). En utilisant n = 1 subdivision, nous obtenons . Donc, la formule de quadrature de Simpson devient :
Maintenant, en utilisant H(x) à la place de f(x) dans la formule de quadrature de Simpson, nous avons :
En substituant les expressions de H(x), nous obtenons :
Nous devons maintenant trouver en utilisant l'expression de (H(x)) :
En évaluant cette expression, nous obtenons :
En substituant les expressions de L(x) et Q(x), nous avons :
En simplifiant cette expression, nous obtenons :
Maintenant, nous pouvons substituer cette valeur dans notre formule de quadrature :
En simplifiant cette expression, nous obtenons :
Cela nous donne la formule de quadrature approximative pour l'intégrale en utilisant (H(x)) :
Merci
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