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Analyse numérique

Posté par
Mathes1 26-05-23 à 15:11

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
Soit f une fonction dérivable sur l'intervalle [0,1]
1)soit L(x) le polynôme d'interpolation de Lagrange tel que L(0)=f(0) , L(1)=f(1) . Calculer le polynôme L(x)
2)soit H(x) le polynôme d'interpolation qui vérifie les données :
H(0)=f(0) , H(1)=f(1), H'(0)=f'(0) , H'(1)=f'(1)
a) Montrer qu'il existe un polynôme Q(x) tel que H(x)=L(x)+x(x-1)Q(x)
b) Calculer Q(0) et Q(1) .En déduire Q(x) puis H(x)
3) En approchant l'intégrale \huge \int_{0}^{1}f(x) dx
Par \huge \int_{0}^{1} H(x) dx, déduire la formule de quadrature :
\int_{0}^{1} f(x) \approx \dfrac{f(0) +f(1)}{2}+\dfrac{f'(0)-f'(1)}{12}
4) Quel est l'ordre de cette formule de quadrature ?(justifier votre réponse)
mes réponses
1)L(x)=f(0)\dfrac{x-1}{0-1} +f(1)\dfrac{x-0}{1-0}=f(0)(1-x)+f(1)x
2-a) pour montrer l'existence de Q on peut calculer H'(x)
H'(x)=L'(x)+(2x-1)Q(x)+x(x-1)Q'(x)
*H'(0)=L'(0)-Q(0)
H'(1)=L'(1)+Q(1)
Pour que H'(0)=f'(0) et H'(1)=f'(1),il faut que
->L'(0)-Q(0)=f'(0) et L'(1)+Q(1)=f'(1)
b) on a L'(x)=-f(0)+f(1)
*L'(0)-Q(0)=f'(0)
L'(1)+Q(1)=f'(1)
-->
-f(0)+f(1)-Q(0)=f'(0) (1)et
-f(0)+f(1)+Q(1)=f'(1) (2)
(1)-(2) :
Q(0)+Q(1)=f'(1)-f'(0)
Merci beaucoup

Posté par
carpediemre : Analyse numérique 26-05-23 à 18:37

salut

2/ je suis étonné par l'article le : je ne vois pas pourquoi H serait unique ...

ce qu tu fais ne vas pas

H et L sont deux polynomes prenant les mêmes valeurs en 0 et en 1

que peut-on alors dire du polynome H - L ?

2b/ je ne vois pas explicitement les images de 0 et 1 par Q

Posté par
Mathes1re : Analyse numérique 26-05-23 à 20:15

Bonjour
D'accord une indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
carpediemre : Analyse numérique 26-05-23 à 20:34

tu as l'indication :

carpediem @ 26-05-2023 à 18:37

H et L sont deux polynomes prenant les mêmes valeurs en 0 et en 1

que peut-on alors dire du polynome H - L ?

Posté par
matheux14re : Analyse numérique 26-05-23 à 20:53

Salut Mathes1, si les polynômes H et L prennent les mêmes valeurs en 0 et en 1, cela signifie que leur différence, H - L, s'annule en ces points.

Prends par exemple H(x) = x^2 + 3x - 2 et L(x) = 2x^2 + x - 2 (en 0 et 2).

Maintenant, si tu veux tu peux le démontrer pour des valeurs quelconques a et b.

f(x) et g(x) sont deux fonctions distinctes.
f(a) = g(a) (les fonctions prennent la même valeur en a).
f(b) = g(b) (les fonctions prennent la même valeur en b).

(f - g)(a) = f(a) - g(a) (par définition de la différence de fonctions, on effectue des opérations sur les fonctions de la même manière que l'on effectue des opérations sur les nombres.)

= g(a) - g(a) (car f(a) = g(a))
= 0 (tout nombre moins lui-même est égal à zéro)

(f - g)(b) = f(b) - g(b) (par définition de la différence de fonctions)
= g(b) - g(b) (car f(b) = g(b))
= 0

Je te laisse donc conclure..

Posté par
Mathes1re : Analyse numérique 27-05-23 à 10:03

Bonjour
Donc pour 2-a)
(H-L)(0)=(H-L)(1)=0
Donc il vérifie ceci :
H(x)-L(x)=x(x-1)Q(x)
Merci à tous

Posté par
matheux14re : Analyse numérique 27-05-23 à 10:32

Oui, en d'autres termes, on a :

(H - L)(0) = H(0) - L(0) = 0
(H - L)(1) = H(1) - L(1) = 0

Ce qui indique que le polynôme H - L possède des racines en 0 et en 1, donc il est divisible par (x - 0) et (x - 1). Ainsi, le polynôme H - L peut être écrit sous la forme :

H - L = x(x - 1)Q(x)

où Q(x) est un autre polynôme.

Posté par
Mathes1re : Analyse numérique 27-05-23 à 10:43

Merci matheux14
Pour 2-b)
On a H(x)=L(x)+x(x-1)Q(x)
Donc H'(x)=L'(x)+(2x-1)Q(x)+x(x-1)Q'(x)
Et L'(x)=-f(0)+f(1)
Merci

Posté par
matheux14re : Analyse numérique 27-05-23 à 10:56

Oui, mais d'où sort L'(x)=-f(0)+f(1) ?

Et comment tu calcules Q(0) et Q(1) ?

Posté par
Mathes1re : Analyse numérique 27-05-23 à 11:25

Il faut dérivé f aussi ?
L'(x)=-f(0)+f'(0)(x-1)+f(1)+f(1)x
Et H'(x)=L'(x)+(2x-1)Q(x)+x(x-1)Q'(x)
Donc
H'(x)=-f(0)+f'(0)(x-1)+f(1)+f(1)x+L'(x)+(2x-1)Q(x)+x(x-1)Q'(x)
Donc
*H'(1)=L'(1)+Q(1)
**H'(0)=L'(0)-Q(0)
Et
*L'(1)=-f(0)+f(1)+f'(1)
**L'(0)=-f(0)+f(1)-f'(0)
<-->
**H'(1)=-f(0)+f(1)+f'(1)+Q(1)
**H'(0)= -f(0)+f(1)-f'(0)-Q(0)
Avec H'(1)=f'(1) et H'(0)=f'(0)
Donc
**f(0)-f(1)=Q(1)
**-2f'(0)-f(0)+f(1)=Q(0) et f'(0)=H'(0)
Merci

Posté par
matheux14re : Analyse numérique 27-05-23 à 11:51

Verifie tes calculs..

L(x) = (1 - x) f(0) + x f(1)

L'(0) = -f(0) + (1 - x) f'(0) + f(1) + x f'(1)

H'(x) = -f(0) + (1 - x) f'(0) + f(1) + x f'(1) + (2x - 1)Q(x) + x(x - 1) Q'(x)


continues maintenant..

Posté par
matheux14re : Analyse numérique 27-05-23 à 12:02

A la 2e ligne, c'est L'(x) au lieu de L'(0).

Posté par
Mathes1re : Analyse numérique 27-05-23 à 12:15

Bonjour

Citation :

L'(x) = -f(0) + (1 - x) f'(0) + f(1) + x f'(1)

Désolé j'ai confondu L et H
Donc
H'(0)=-f(0)+f'(0)+f(1)-Q(0) avec H'(0)=f'(0)
Donc Q(0)=f(1)-f(0)
Et Q(1)=f(0)-f(1)

Posté par
matheux14re : Analyse numérique 27-05-23 à 12:19

C'est juste.

Pour la question 3) comment tu fais ?

Posté par
Mathes1re : Analyse numérique 27-05-23 à 12:30

Bonjour
2-b)

Citation :
En déduire Q(x) puis H(x)

On a Q(0)=L(1)-L(0)
Q(1)=L(0)-L(1)
Donc Q(0)=-Q(1)

Posté par
matheux14re : Analyse numérique 27-05-23 à 12:40

On a :

Q(0) = f(1) - f(0)
Q(1) = f(0) - f(1)

Q(x) = ??

Posté par
matheux14re : Analyse numérique 27-05-23 à 12:41

Ensuite tu as H(x) = L(x) + (x - 1)x Q(x).

Posté par
carpediemre : Analyse numérique 27-05-23 à 12:47

Mathes1 @ 27-05-2023 à 10:03

(H-L)(0)=(H-L)(1)=0
Donc il vérifie ceci : ouais un donc un peu rapide
H(x)-L(x)=x(x-1)Q(x)


donc H - L se factorise par x et par x - 1 et puisque ces facteurs sont premiers entre eux H - L se factorise par x(x - 1) ... et il existe un polynome Q tel que H(x) - L(x) = x(x - 1)Q(x)


ensuite l'idée de dérivée est bonne puisque tu connais L(x) = f(0) + [f(1) - f(0)]x

et tu as immédiatement le résultat à partir de
Mathes1 @ 26-05-2023 à 15:11

2-a) pour montrer l'existence de Q on peut calculer H'(x) : H'(x)=L'(x)+(2x-1)Q(x)+x(x-1)Q'(x)

*H'(0)=L'(0)-Q(0)
H'(1)=L'(1)+Q(1)

Posté par
Mathes1re : Analyse numérique 27-05-23 à 13:14

Bonjour
Pour trouver le polynôme Q(x) à partir des valeurs Q(0) = f(1) - f(0) et Q(1) = f(0) - f(1), nous pouvons utiliser l'approche suivante :

Nous savons que Q(x) est un polynôme de degré au plus 1, donc nous pouvons l'exprimer sous la forme générale Q(x) = ax + b.

Substituons x = 0 dans cette expression :
Q(0) = a * 0 + b = b

Nous avons Q(0) = f(1) - f(0), donc nous pouvons écrire :
b = f(1) - f(0)

Maintenant, substituons x = 1 dans Q(x) = ax + b :
Q(1) = a * 1 + b = a + b

Nous avons Q(1) = f(0) - f(1), donc nous pouvons écrire :
a + b = f(0) - f(1)

Maintenant, nous avons un système d'équations à deux inconnues (a et b) :

b = f(1) - f(0)
a + b = f(0) - f(1)
Donc :
a + b - b = (f(0) - f(1)) - (f(1) - f(0))
a = -2 * (f(1) - f(0))

Ainsi, nous avons trouvé la valeur de a. Maintenant, substituons cette valeur dans la première équation pour trouver b :

b = f(1) - f(0)

Donc, nous avons maintenant les valeurs de a et b, ce qui nous permet de déterminer le polynôme Q(x) :

Q(x) = ax + b
     = (-2 * (f(1) - f(0))) * x + (f(1) - f(0))

Par conséquent, le polynôme Q(x) est donné par :
Q(x) = (-2 * (f(1) - f(0))) * x + (f(1) - f(0))
Merci

Posté par
carpediemre : Analyse numérique 27-05-23 à 13:34

Mathes1 @ 27-05-2023 à 13:14

Nous savons que Q(x) est un polynôme de degré au plus 1,
comment le sais-tu ?

Posté par
Mathes1re : Analyse numérique 27-05-23 à 13:52

Désolé c'est juste une hypothèse

Posté par
matheux14re : Analyse numérique 27-05-23 à 14:04

Hein ?

Posté par
Mathes1re : Analyse numérique 27-05-23 à 14:24

Bonjour
La relation :
Q(x) = (-2 * (f(1) - f(0))) * x + (f(1) - f(0))
Vérifie bien que :Q(0)=f(1)-f(0) ;
Q(1)=f(0)-f(1)
Je ne sais pas autre méthode
Merci

Posté par
matheux14re : Analyse numérique 27-05-23 à 15:28

Le problème c'est

Citation :
Nous savons que Q(x) est un polynôme de degré au plus 1, donc nous pouvons l'exprimer sous la forme générale Q(x) = ax + b.

Posté par
Mathes1re : Analyse numérique 27-05-23 à 15:33

Bonjour
Si Q est de degré 2 on va trouver 2 équations à 3 inconnue donc c'est pas possible

Posté par
carpediemre : Analyse numérique 27-05-23 à 16:47

alors peux-tu nous résumer proprement !!

L(x) = [f(1) - f(0)]x + f(0)

H(x) = L(x) + x(x - 1)Q(x)

Q(0) = ............... ?
Q(1) = ............... ?

ensuite il reste les conditions H'(0) = f'(0) et H'(1) = f'(1)

qu'est-ce que ça donne ?

donc déjà nous redonner proprement H'(x) = .... ?

Posté par
Mathes1re : Analyse numérique 27-05-23 à 18:04

Bonjour

Citation :
alors peux-tu nous résumer proprement !!

L(x) = [f(1) - f(0)]x + f(0)

H(x) = L(x) + x(x - 1)Q(x)

Q(0) = f(1)-f(0)
Q(1) = f(0)-f(1)

ensuite il reste les conditions H'(0) = f'(0) et H'(1) = f'(1)
qu'est-ce que ça donne ?

On a L(x) et Q(x) on peut trouver H(x)
Merci

Posté par
carpediemre : Analyse numérique 28-05-23 à 10:28



bon tu ne veux pas le faire ....

Mathes1 @ 27-05-2023 à 11:25

L'(x)=-f(0)+f'(0)(x-1)+f(1)+f(1)x    je ne comprends pas

Et H'(x) = L'(x) + (2x - 1)Q(x) + x(x - 1)Q'(x)
et je ne comprends pas tout le reste des calculs d'ailleurs ...


d'après ce qui précède    L(x) = [f(1) - f(0)]x + f(0)    donc on a donc immédiatement       L'(x) = f(1) - f(0)

les conditions H'(0) = f'(0) et H'(1) = f'(1) donnent donc :

f'(0) = f(1) - f(0) - Q(0)   Q(0) = f(1) - f(0) - f'(0)

f'(1) = f(1) - f(0) + Q(1) Q(1) = f'(1) - f(1) + f(0)

Posté par
carpediemre : Analyse numérique 28-05-23 à 10:29

REM : L'(x) est simplement la pente de la droite représentant L et passant par les points de coordonnées (0, f(0)) et (1, f(1))

Posté par
matheux14re : Analyse numérique 28-05-23 à 12:55

Salut, dans le calcul de la dérivée de L(x), f(0) et f(1) sont des constantes donc leurs dérivées sont nulles. La dérivée de L(x) est donnée par :

L'(x) = -f(0) + f(1)

Résultat indubitable car le polynôme d'interpolation de Lagrange L(x) est construit de telle manière qu'il passe par les points de données (0, f(0)) et (1, f(1)). La dérivée de L(x) donne donc la pente de cette droite.

Et en utilisant la formule générale pour la dérivée du polynôme d'interpolation de Lagrange, on a bien :

L'(x) = (f(1) - f(0))/(1 - 0)

Pourtant dans la formule de Q(0) et Q(1), f'(0) et f'(1) ne sont pas nulles ?

Posté par
Mathes1re : Analyse numérique 30-05-23 à 15:53

Bonjour
Une indication s'il vous plaît pour trouver Q(x) et H(x) merci beaucoup

Posté par
Mathes1re : Analyse numérique 31-05-23 à 22:21

Bonjour
Maintenant que nous avons trouvé les expressions de Q(0) et Q(1), nous pouvons déterminer Q(x) :

Q(x) = [Q(1) - Q(0)]/(1 - 0) * (x - 0) + Q(0)
      = [f'(1) - f(1) + f(0) - (f(1) - f(0) - f'(0))] * x + (f(1) - f(0) - f'(0))

Simplifiant cette expression, nous obtenons :

Q(x) = (f'(0) - f'(1)) * x + (2f(1) - f(0) - f'(0))

Maintenant, nous pouvons calculer H(x) en utilisant les valeurs de L(x) et Q(x) :

H(x) = L(x) + x(x - 1)Q(x)
     = ([f(1) - f(0)]x + f(0)) + x(x - 1) * [(f'(0) - f'(1)) * x + (2f(1) - f(0) - f'(0))]

Merci

Posté par
Mathes1re : Analyse numérique 01-06-23 à 09:53

Bonjour
Pour 3)
Pour approximer l'intégrale \(\int_{0}^{1}f(x) dx\) en utilisant l'intégrale \(\int_{0}^{1} H(x) dx\), nous allons appliquer la formule de quadrature. La formule générale de quadrature utilisée ici est appelée la formule de Simpson, qui est basée sur l'interpolation polynomiale.

La formule de quadrature de Simpson pour approximer l'intégrale \(\int_{a}^{b} f(x) dx\) est donnée par :

\[\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{h}{3} \left(f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \ldots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)\right)\]

où \(h = \frac{b - a}{n}\) est le pas d'intégration et (n ) est le nombre de subdivisions.

Dans notre cas, nous avons a = 0 et (b = 1). En utilisant n = 1 subdivision, nous obtenons \(h = \frac{1 - 0}{1} = 1\). Donc, la formule de quadrature de Simpson devient :

\[\int_{0}^{1} f(x) dx \approx \frac{1}{3} \left(f(0) + 4f\left(\frac{1}{2}\right) + f(1)\right)\]

Maintenant, en utilisant H(x) à la place de f(x) dans la formule de quadrature de Simpson, nous avons :

\[\int_{0}^{1} H(x) dx \approx \frac{1}{3} \left(H(0) + 4H\left(\frac{1}{2}\right) + H(1)\right)\]

En substituant les expressions de H(x), nous obtenons :

\[\int_{0}^{1} H(x) dx \approx \frac{1}{3} \left(\frac{f(0) + f(1)}{2} + 4H\left(\frac{1}{2}\right)\right)\]

Nous devons maintenant trouver \(H\left(\frac{1}{2}\right)\) en utilisant l'expression de (H(x)) :

\[H\left(\frac{1}{2}\right) = L\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} - 1\right)Q\left(\frac{1}{2}\right)\]

En évaluant cette expression, nous obtenons :

\[H\left(\frac{1}{2}\right) = L\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{4}Q\left(\frac{1}{2}\right)\]

En substituant les expressions de L(x) et Q(x), nous avons :

\[H\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{f(1) - f(0)}{2}\right) - \frac{1}{4}\left((f'(0) - f'(1))\left(\frac{1}{2}\right) + (2f(1) - f(0) - f'(0)) \\ \\ \right)\]

En simplifiant cette expression, nous obtenons :

\[H\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{f(0) + f(1)}{2} - \frac{f'(0) - f'(1)}{4}\]

Maintenant, nous pouvons substituer cette valeur dans notre formule de quadrature :

\[\int_{0}^{1} H(x) dx \approx \frac{1}{3} \left(\frac{f(0) + f(1)}{2} + 4\left(\frac{f(0) + f(1)}{2} - \frac{f'(0) - f'(1)}{4}\right) + \frac{f(0) + f(1)}{2}\right)\]

En simplifiant cette expression, nous obtenons :

\[\int_{0}^{1} H(x) dx \approx \frac{f(0) + f(1)}{2} + \frac{f'(0) - f'(1)}{12}\]

Cela nous donne la formule de quadrature approximative pour l'intégrale \(\int_{0}^{1} f(x) dx\)en utilisant (H(x)) :

\[\int_{0}^{1} f(x) dx \approx \frac{f(0) + f(1)}{2} + \frac{f'(0) - f'(1)}{12}\]
Merci

Posté par
Student2023re : Analyse numérique 02-06-23 à 15:23

Bonjour,

pour quoi vous avez mis svp :
Q(x) = [Q(1) - Q(0)]/(1 - 0) * (x - 0) + Q(0)
      = [f'(1) - f(1) + f(0) - (f(1) - f(0) - f'(0))] * x + (f(1) - f(0) - f'(0))


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