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[analyse numérique] conditionnement...

Posté par
vincprof 28-02-07 à 20:51

bonsoir,
tout d'abord, je rappelle la définition du conditionnement d'une matrice :
cond(A)=||A||.||A-1||
avec ||.|| une norme matricielle.

si la norme matricielle est subordonnée a une norme vectorielle p, on note
condp(A)=||A||p. ||A-1||p



je cherche a démontrer le théorème suivant:

1) pour tout A et a≠0, cond(aA)=cond(A) --> ca pas de souci...

2)cond(A)≥1 si la norme est subordonée.
--> je suis partis comme ca : 3$||A||_p\cdot ||A^{-1}||_p= \sup_{u\neq 0}\frac{||Au||_p}{||u||_p}\cdot \sup_{v \neq 0}\frac{||A^{-1}v||_p}{||v||_p} mais après je seche...

3)cond2(A)=2$\sqrt{\frac{\mu_{max}}{\mu_{min}}} ou \mu_{min} et \mu_{max} sont les valeurs singulières extrêmes
--> ici j'ai écrit ceci :
5$||A||_2\cdot ||A^{-1}||_2= \sqrt{\rho(A*A)}\sqrt{\rho(A^{-1}*A^{-1})}=\sqrt{\rho(A*A)\rho(A^{-1}*A^{-1})}
mais je ne vois pas bien comment continuer peut etre dire que 4$\mu_{max} =\rho(A*A) et que 4$\mu_{min}=\rho(A^{-1}*A^{-1}) mais pour la deuxieme égalité je ne suis pas du tout sûr.

4)5$cond_2(A)=\frac{\max_i |\lambda_i|}{\min_i |\lambda_i|} si A est normale
--> ceci tombe rapidement une fois le 3) montré...


5) cond_2(A)=1 si et seuleument si A=\alpha Q (où \alpha est un scalaire et Q une matrice unitaire)
--> je ne sais pas...

6)cond(AB)≤cond(A)cond(B)
-->ca c'est bon.

Merci d'avance a ceux qui pourront m'aider..

Posté par
Cauchyre : [analyse numérique] conditionnement... 28-02-07 à 20:56

Re,

il faut utiliser qu'elle est sous-multiplicative pour la 2) donc:

||AA-1||=||Id||=1<=||A|| ||A-1||.

Posté par
vincprofre : [analyse numérique] conditionnement... 28-02-07 à 21:03

d'accord!!!

mais en quoi cela intervient que la norme soit subordonnée?

Posté par
Cauchyre : [analyse numérique] conditionnement... 28-02-07 à 21:05

Et bien toutes les normes ne sont pas sous-multiplicatives mais les normes subordonnées aux normes p le sont (exercice ) je crois que la norme subordonnée de la norme infinie ne l'est pas.

Bon courage pour le reste je dois y aller

Posté par
vincprofre : [analyse numérique] conditionnement... 28-02-07 à 21:07

ok d'accord!

merci.


Bonne soirée à toi...

Posté par
Cauchyre : [analyse numérique] conditionnement... 28-02-07 à 21:54

C'est quoi deja la définition de :

4$\mu_{max}%20=\rho(A*A)

Posté par
Cauchyre : [analyse numérique] conditionnement... 28-02-07 à 21:54

Je voulais dire de 4$\rho(A*A)

Posté par
vincprofre : [analyse numérique] conditionnement... 28-02-07 à 22:27

4$\max(Sp(A*A))%20=\rho(A*A) c'est a dire la valeur propre max de A*A

Posté par
vincprofre : [analyse numérique] conditionnement... 28-02-07 à 22:37

je pense avoir touvé pour le 3) :

4$||A^{-1}||_2=\sqrt{\rho((A^{-1})*\cdot A^{-1})}?=?\sqrt{\frac{1}{\mu_{min}}}

or on a que 4$\rho((A^{-1})*\cdot A^{-1}) est la plus grande valeur propre de 4$(A^{-1})*\cdot A^{-1}


or si \lambda est vap de 4$A*\cdot A alors \frac{1}{\lambda} est vap de 4$(A*\cdot A)^{-1}


....arrrrgh ca y est je suis perdu!!

faut que je reprenne du début...
Mais déja, est ce qu'on a 3$(A^{1})*=(A*)^{-1} ?

Posté par
Cauchyre : [analyse numérique] conditionnement... 28-02-07 à 23:13

Oui on a bien ca comme avec les transposées t(A-1)=(tA)-1.

Posté par
vincprofre : [analyse numérique] conditionnement... 28-02-07 à 23:28

ok alors tout roule...

je l'écrirai demain.

merci
bonne nuit.

Posté par
Cauchyre : [analyse numérique] conditionnement... 28-02-07 à 23:29

Vérifie quand meme je suis fatigué

A demain

Posté par
vincprofre : [analyse numérique] conditionnement... 28-02-07 à 23:34

oui oui c bon j'ai vérifié j'écrire la reponse demain....

Posté par
vincprofre : [analyse numérique] conditionnement... 01-03-07 à 12:58

donc on a
4$||A^{-1}||_2=\sqrt{(\rho(A^{-1})*\cdot A^{-1}}=\sqrt{(\rho (A\cdot A*)^{-1}} \\ =\sqrt{(\rho (A*\cdot A)^{-1}}=\sqrt{\max_{\lambda_i}(A*A)^{-1}}=\sqrt{\frac{1}{\min_{\lambda_i}(A*A)^{-1}}}=\sqrt{\frac{1}{\mu_{min}}}

et en couplant avec les résultat çi dessus, on obtien bien cond2(A)=3$\sqrt{\frac{\mu_{max}}{\mu_{min}}}


donc voila. plus que la 5) a montrer et la je n'ai aucune idée

Posté par
vincprofre : [analyse numérique] conditionnement... 01-03-07 à 17:14

bon eh bien je pense avoir trouvé pour la 5) :

4$A=\alpha\cdot Q \Leftrightarrow \mu_{max}=\mu_{min}=|\alpha|^2 (\mathrm{car }(\alpha Q)*\cdot \alpha Q=|\alpha|^2) \\ \Leftrightarrow cond_2(A)=1

tu confirmes cauchy?

Posté par
Cauchyre : [analyse numérique] conditionnement... 02-03-07 à 00:15

Les valeurs singulières j'ai plus trop ca en tête

Pour le 5),tu peux faire ca par implication je me méfie des équivalences rapides comme ca

Posté par
vincprofre : [analyse numérique] conditionnement... 02-03-07 à 22:45

en effet les équivalence c'est dangereux mais dans ce cas, je l'ai fait par double implication et ca marche tres bien aussi.

donc le problème est clos.

merci Cauchy de ton aide.

Posté par
Cauchyre : [analyse numérique] conditionnement... 02-03-07 à 22:53

Ok c'est cool


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