Bonjour. Il faut recopier l'énoncé et ne pas mettre une autre image de l'énoncé (c'est pour que la fonction recherche fonctionne)

D'accord, je m'en excuse, j'avais cru lire que si le sujet était trop long il est préférable de mettre une photo.

Voici le sujet :

1. Soit g une fonction de classe sur [-1,1] et soit le polynôme d'interpolation de Hermite de degré 3 vérifiant :
,
(a) Donner l'expression du polynôme .
(b) Donner pour chaque t l'expression de l'erreur .
(c) Calculer .
(d) En déduire la méthode d'intégration numérique :
, où .

2 Soit f une fonction de classe sur [a,b]. On pose , où n est un entier et .
Déduire de la question précédente la méthode d'intégration numérique composée :


où et où est l'expression obtenue par la méthode des trapèzes composée avec le pas h.

Et bien il faudrait déjà donner tes résultats pour les questions précédentes.

1
a) Après avoir résolut un système on obtient pour un polynome de degré 3 tel que
a =
b =
c =
d =

b) Comme g est de classe , alors il existe telque
ce qui nous donne que l'erreur est

c) Après calcule de l'intégrale je trouve :

d) j'en déduis que l'intégrale de g(t) peut s'exprimer comme l'intégrale de et on retrouve bien le résultat voulu.

Concernant la question 2, comme mentionné plus haut, cela fait pas mal de temps que j'y suis bloqué. J'ai bien essayé d'utiliser la formule de Taylor mais ce qu'il reste n'est que des termes en f'', et quelques autres calcules que j'ai pu réaliser n'aboutisse à rien.

Il me semble qu'il suffit de réappliquer la méthode vue en g sur [-1;1] à f sur les n intervalles de la subdivision [a;b] en n par relation de Chasles de l'intégrale.

C'est aussi la première chose à laquelle j'ai pensé, je l'ai peut-être mal appliqué mais je ne vois pas comme les calcules peuvent se simplifier sur des intervalles de la forme [a +kh, a + (k+1)h] avec k = 0, 1, ..., n-1.
Et surtout que je ne vois pas comment cela nous donnerai une égalité. En appliquant la formule du trapèze composée j'ai au mieux un "environ" égale à l'intégrale de départ.

Je viens de m'en apercevoir mais l'intégrale de la question 2 est :

et non

Je viens d'y penser mais est-ce que faire une transformation pour aller d'un intervalle de la forme [a +kh, a + (k+1)h] avec k = 0, 1, ..., n-1, à [-1, 1] serait une bonne piste ?
Exemple partir de l'intervalle [a, a+h] et l'exprimer sous forme de [-1,1] et ensuite pouvoir réappliquer 1.d ?

Je n'ai plus le temps si quelqu'un d'autre veut reprendre...
Pourquoi tu penses ne pas avoir d'égalité? La question 1 t'en donne une.

Bonjour,

en continuation :
Sur [a,b] on peut prendre une subdivision régulière de sous-intervalles h =x_i-x_i+1= et x_i = a + ih avec i appartient à  [0,n]

Dans la méthode des trapèzes,on remplace f par un segment qui relie (x_i,f(x_i)) à (x_i+1,f(x_i+1)).
Cela revient a interpoler f sur le segment [x_i,x_i+1] par le polynôme de Lagrange de degré 1 entre x_i et x_i+1

Ceci dit pour utiliser les résultats de la question 1),il faut  une intégrale sur l'intervalle [-1,1] possible en utilisant un changement de variable sur une subdivision.

Si on choisit n points distincts y_isur l'intervalle [-1,1] auxquels on associe une translation et une homothétie n point aux points de [x_i,x_i+1] :

alors on peut remplacer l'intégrale de f sur [x_i,x_i+1]


est le polynôme de Lagrange de f associé aux points yi

Bonjour, merci pour vos réponses, j'ai eu une semaine chargée je n'ai pas pu me remettre dans mon DM.
Du coup j'ai fait quelques chose qui ressemble à ce que phyelec78 m'a proposé, en le réadaptant avec un exercice de td.

J'ai fait pour l'instant :


Ensuite j'ai posé : et

J'ai ensuite fait une transformation de mon intervalle ce qui me donne

Ce qui me donne :

Ensuite il me parait légitime d'appliquer 1.d

, où .

Est ce que cela vous sembles cohérent ? Il me reste à sommer le tout pour aller plus loin.