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[analyse numerique] Résolution des systèmes linéaire démos....

Posté par
vincprof 03-03-07 à 15:06

BOnjour,
je viens de m'attaquer a ce cours d'analyse numérique et j'ai rencontré quelques difficultées dans les démos :
(je les posterai dans l'ordre où elles se présenteront...)

ce premier lemme (nous ne l'avons pas démontré en cours) :
Soient C une matrice inversible et ||.|| une norme vectorielle alors |||x|||=||Cx|| est une norme vectorielle et |||A|||=||CAC^{-1}||

je ne vois pas comment ca marche : en applican la def de |||.||| a A on a |||A|||=||CA|| mais ce n'est pas ca que l'on veut (et là je sens que je me suis vautré comme à mon habitude sur la différence entre norme d'un vecteur et norme d'une matrice... help!!)

Quelqu'un peut il m'aider sur ce point?
Merci d'avance...

Posté par
Cauchyre : [analyse numerique] Résolution des systèmes linéaire démos. 03-03-07 à 15:11

Bonjour,

je comprend pas |||.||| est une norme vectoriel et on considère |||A||| avec A une matrice serait-ce une norme subordonnée?

Posté par
vincprofre : [analyse numerique] Résolution des systèmes linéaire démos. 03-03-07 à 15:17

salut cauchy,

Ah bon alors n'ai pas tout a fait rien compris!

j'ai donné l'énocé tel qu'il est donné dans la feuille de résumé de cours que le prof nous a distribué...
cependant je viens de voir dans le cours qu'il est dit que "... est une norme vectorielle et de plus la norme matricielle subordonnée s'écrit : |||A|||=..."

Posté par
vincprofre : [analyse numerique] Résolution des systèmes linéaire démos. 03-03-07 à 15:19

du coup on a ca |||A|||=\sup_{x\neq 0}\frac{|||Ax|||}{|||x|||} non?

Posté par
Cauchyre : [analyse numerique] Résolution des systèmes linéaire démos. 03-03-07 à 15:20

Ah ok mais alors ensuite que représente ||CAC-1||?

Posté par
vincprofre : [analyse numerique] Résolution des systèmes linéaire démos. 03-03-07 à 15:26

je pense que ca doit etre la norme matricielle...

du coup^c bon ca m'a débloqué:
|||A|||=\sup_{x\neq 0}\frac{|||Ax|||}{|||x|||} \\ = \sup_{x\neq 0}\frac{||CAx||}{||Cx||} \\ = \sup_{w\neq 0}\frac{||CAC^{-1}w||}{||w||} \\ = ||CAC^{-1}|| avec x=C^{-1}w

Posté par
Cauchyre : [analyse numerique] Résolution des systèmes linéaire démos. 03-03-07 à 15:30

Je comprend pas pourquoi on met pas ||| CAC-1 |||?

Posté par
vincprofre : [analyse numerique] Résolution des systèmes linéaire démos. 03-03-07 à 15:32

parce que c'est la norme subordonnée relative a ||.|| je pense...

Posté par
Cauchyre : [analyse numerique] Résolution des systèmes linéaire démos. 03-03-07 à 15:36

Oui effectivement j'ai dit une betise

Posté par
vincprofre : [analyse numerique] Résolution des systèmes linéaire démos. 03-03-07 à 15:38

ok no problem. c cool si tu confirme, ca veut dire que j'ai compris!

Posté par
Cauchyre : [analyse numerique] Résolution des systèmes linéaire démos. 03-03-07 à 15:41

Dans la démo il faut préciser pour dire que |||x||| est bien une norme que ||Cx||=0 entraine Cx=0 puis x=0 car C inversible

Posté par
vincprofre : [analyse numerique] Résolution des systèmes linéaire démos. 03-03-07 à 15:45

exact!! j'avais zappé cette partie... merci

il faut aussi montrer les autres propriété des normes,non? (|||kx|||=k|||x||| ; inégalité triangulaire)
ceci dit je ne sais pas si l'on ne peut pas les considérer comme évidentes...

Posté par
Cauchyre : [analyse numerique] Résolution des systèmes linéaire démos. 03-03-07 à 15:46

Oui mais les autres sont évidentes ca découle du fait que ||.|| est une norme,c'etait le point à préciser ou on utilise que C est inversible.

Bonne apres midi

Posté par
vincprofre : [analyse numerique] Résolution des systèmes linéaire démos. 03-03-07 à 15:48

ok merci.

bon après-midi à toi aussi.


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