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[Analyse] Théorème de d'Alembert Gauss

Posté par
fusionfroide 17-02-07 à 20:24

Salut

Théorème : tout polynôme 4$P non constant possède une racine dans \mathbb{C}

Preuve :

Par l'absurde.
Supposons que 4$P ne s'annule pas.
Alors 4$\frac{1}{P} est définie sur 4$\mathbb{C} et holomorphe.
D'autre part, 4$P non constant implique que 4$\lim_{|z|\to +\infty}|P(z)|=+\infty

Donc 4$\exist R>0, 4$|z| \ge R \Longrightarrow |P(z)|\ge|P(0)|

Or 4$0 \in \bar{D(O,R)}

Donc 4$\inf_{z\in \mathbb{C}} |P(z)|=\inf_{z\in \bar{D(0,R)}}|P(z)|

Je ne comprends pas cette inégalité !

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : [Analyse] Théorème de d'Alembert Gauss 17-02-07 à 20:36

salut

L'inégalité ou l'égalité ?

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Théorème de d'Alembert Gauss 17-02-07 à 20:40

Pardon, peux-tu corriger ainsi : changer les \le en \ge

Merci

Sinon je parlais bien de l'égalité avec les inf

Posté par
kaiser Moderateurre : [Analyse] Théorème de d'Alembert Gauss 17-02-07 à 20:53

Pour les inégalités effectivement c'est plus logique comme ça !

Pour l'égalité des inf :

a priori, on a \Large{\inf_{z\in%20\mathbb{C}}%20|P(z)|\leq \inf_{z\in%20\bar{D(0,R)}}|P(z)|}

En effet, en regardant l'inf sur un ensemble plus grand, l'inf ne peut que diminuer.

Soit z un complexe quelconque.
si z est de module plus petit que R alors, \Large{|P(z)|\geq \inf_{z\in%20\bar{D(0,R)}}|P(z)|} (par définition)

si z est de module plus grand que R, alors \Large{|P(z)|\geq |P(0)|\geq \inf_{z\in%20\bar{D(0,R)}}|P(z)|}

ainsi, pour tout complexe z, on a :

\Large{|P(z)|\geq \inf_{z\in%20\bar{D(0,R)}}|P(z)|}

Par passage à l'inf, on obtient :

\Large{\inf_{z\in%20\mathbb{C}}%20|P(z)|\geq \inf_{z\in%20\bar{D(0,R)}}|P(z)|}

D'où l'égalité.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Théorème de d'Alembert Gauss 17-02-07 à 21:28

c'est très clair merci

Le prof aurait quand même pu expliquer, non ?

Car je t'ai donné la démo telle qu'elle est dans mon cours ...

Tu restes encore ? j'aimerai te poser une autre question

Posté par
kaiser Moderateurre : [Analyse] Théorème de d'Alembert Gauss 17-02-07 à 21:31

Citation :
Le prof aurait quand même pu expliquer, non ?


C'est vrai !

Citation :
Tu restes encore ? j'aimerai te poser une autre question


oui bien sûr !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Théorème de d'Alembert Gauss 17-02-07 à 21:38

ok

C'est très rapide :

Théorème : Inégalité de Cauchy

4$\Omega ouvert tel que 4$D(z_0,R) \subset \Omega

4$f\in H(\Omega) tel que 4$|f^'(z)|\le M_R, 4$\forall z \in D(z_0,R)
La conclusion ne m'intéresse pas ici

Preuve :

4$D(z_0,R)\subset \Omega \Longrightarrow \exist r>R, \bar{D(z_0,R)} \subset D(z_0,r) \subset \Omega

On a donc 4$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n pour 4$z \in D(z_0,r)

Ma question est la suivante : pourquoi ne peut-on pas faire le développement analytique directement sur 4$D(z_0,R) ?

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : [Analyse] Théorème de d'Alembert Gauss 17-02-07 à 21:46

Tu es sûr qu'il est bien écrit r > R ?(égalité stricte)
ça me semble faux dans le cas général l'existence de ce r.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Théorème de d'Alembert Gauss 17-02-07 à 21:49

Oui oui l'égalité est bien stricte

Posté par
kaiser Moderateurre : [Analyse] Théorème de d'Alembert Gauss 17-02-07 à 21:53

c'est faux.

Contre-exemple : si D est le disque unité ouvert et si R=1, alors c'est faux, car l'adhérence de ce disque n'est même pas incluse dans D.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Théorème de d'Alembert Gauss 17-02-07 à 21:54

bon dans ce cas je verrai ça lundi avec le prof : merci en tout cas

Posté par
kaiser Moderateurre : [Analyse] Théorème de d'Alembert Gauss 17-02-07 à 21:55

OK !


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