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[Analyse] Théorème de Liouville

Posté par
fusionfroide 12-02-07 à 22:15

Bonsoir tout le monde

J'ai un problème pour comprendre la preuve du théorème de Liouville.

Dans la preuve, on a supposé 4$|f(z)|\le M.
D'autre part, 4$f \in H(\mathbb{C}) donc 4$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n

Parseval nous donne : 4$\int_0^{2\pi}|f(r exp{i\theta})|^2\frac{d\theta}{2\pi}=\sum_{n=0}^{+\infty}|a_n|^2r^{2n}

On a donc 4$|a_n^2|r^{2n}\le M^2

D'où 4$a_n=0 pour tout 4$n \ge 1

C'est là que je ne comprends pas : pourquoi peut-on déduire que les 4$a_n sont tous nuls, et pourquoi à partir de 1 ?

Posté par
Cauchyre : [Analyse] Théorème de Liouville 12-02-07 à 22:18

Salut,

Car pour n=0 on a r^0=1 donc on peut pas faire tendre r vers l'infini.

Posté par
kaiser Moderateurre : [Analyse] Théorème de Liouville 12-02-07 à 22:19

Re fusionfroide

En fait, cette inégalité est vrai pour tout r.
Pour n supérieur à 1 : on divise par \Large{r^{2n}} de chaque côté et on fait tendre r vers l'infini. Lorsque n est différent de 0, on a \Large{\frac{1}{r^{2n}}} tend vers 0, donc...

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Théorème de Liouville 12-02-07 à 22:20

Merci à vous deux

Bonne fin de soirée

Posté par
fusionfroidere : [Analyse] Théorème de Liouville 13-02-07 à 00:11

Tiens, Liouville est natif de Pas-de-Calais


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