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analyse vectorielle: divergence et produit scalaire

Posté par
audreys18 19-04-07 à 07:28

bonjour,
J'avais un exercices sur l'analyse vectorielle à faire et je n'arrive pas à démontrer une formule:
div(\vec{\phi1}^\vec{\phi2})= < \vec{rot}(\vec{\phi1}) , \vec{\phi2}> - < \vec{\phi1} , \vec{rot}(\vec{\phi2}) >

avec pour les notations:
< , > le produit scalaire
ROT le rotationnel
div la divergence
^ le produit vectoriel
Pourriez vous m'aider? Dans mon cours j'ai les formules de divergence, le laplacien, le gradien et le rotationnel. Là je vois pas comment je peux utiliser la formule de la divergente aevc le produit vectoriel.
merci d'avance pour vos réponse

Posté par
ottore : analyse vectorielle: divergence et produit scalaire 19-04-07 à 12:34

Bonjour,
tu devrais poser
phi_1=(F_1,F_2,F_3)
phi_2=(G_1,G_2,G_3)

et faire les calculs et montrer que les deux quantités sont égales.

Sinon tu peux aussi faire les calculs en mettant tout en terme de produits scalaires et vectoriels:

div(u)=nabla.u
rot(u)=nabla ^ u
où ^ est le produit scalaire.

Posté par
audreys18re : analyse vectorielle: divergence et produit scalaire 19-04-07 à 13:48

merci pour ta réponse
j'ai posé :
\vec{\Phi1}=(\Phi1x , \Phi1y , \Phi1z)
et \vec{\Phi2}=(\Phi2x , \Phi2y , \Phi2z)

\vec{\Phi1} ^ \vec{\Phi2}= (\Phi2z*\Phi1y - \Phi2y*\Phi1z   , \Phi2x*\Phi1z - \Phi2z*\Phi1x , \Phi2y*\Phi1x - \Phi2x*\Phi1y )

donc div (\vec{\Phi1} ^ \vec{\Phi2})=  4$\frac{d\Phi2_z*\Phi1_y - \Phi2_y*\Phi1_z}{dx} + 4$\frac{d (\Phi2_x*\Phi1_z - \Phi2_z*\Phi1_x)}{dy} +4$\frac{d (\Phi2_y*\Phi1_x - \Phi2_x*\Phi1_y)}{dz}

div (\vec{\Phi1} ^ \vec{\Phi2})= 4$\frac{d\Phi2_z*\Phi1_y - \Phi2_y*\Phi1_z}{dx} + 4$\frac{d (\Phi2_x*\Phi1_z - \Phi2_z*\Phi1_x)}{dy} +4$\frac{d (\Phi2_y*\Phi1_x - \Phi2_x*\Phi1_y)}{dz} - 4$\frac{d\Phi2_y*\Phi1_z}{dx} - 4$\frac{d (\Phi2_z*\Phi1_x)}{dy} - 4$\frac{d (\Phi2_x*\Phi1_y)}{dz}

par contre je ne vois pas comment relié avec le résultat
Est ce cela?
merci pour vos réponses

Posté par
audreys18re : analyse vectorielle: divergence et produit scalaire 19-04-07 à 13:49

j'ai oublié de précisé que pour la divergence c'est des dérivés partielles.

Posté par
perroquetre : analyse vectorielle: divergence et produit scalaire 19-04-07 à 15:39

Bonjour, audreys18

Tes notations sont un petit peu pénibles à utiliser (pas très facile à taper en Latex, tout ça). Je reprends les notations d'Otto.
\vec{\Phi_1}\wedge\vec{\Phi_2}= (F_2G_3-F_3G_2,F_3G_1-F_1G_3,F_1G_2-F_2G_1)

\operatorname{div}\left( \\ \vec{\Phi_1}\wedge\vec{\Phi_2}\right) =\frac{\partial(F_2G_3-F_3G_2)}{\partial x} +\frac{\partial(F_3G_1-F_1G_3)}{\partial y} +\frac{\partial(F_1G_2-F_2G_1)}{\partial z}

\operatorname{div}\left( \\ \vec{\Phi_1}\wedge\vec{\Phi_2}\right) = \frac{\partial F_2}{\partial x}G_3-\frac{\partial F3}{\partial x}G_2 +\frac{\partial F_3}{\partial y}G_1-\frac{\partial F1}{\partial y}G_3 +\frac{\partial F_1}{\partial z}G_2-\frac{\partial F2}{\partial z}G_1 + F_2\frac{\partial G_3}{\partial x}-F_3\frac{\partial G2}{\partial x} +F_3\frac{\partial G_1}{\partial y}-F_1\frac{\partial G_3}{\partial y} +F_1\frac{\partial G_2}{\partial z}-F_2\frac{\partial G_1}{\partial z}

\vec{\operatorname{rot}}(\vec{\Phi_1}}=\left( \frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}, \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}, \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right) \qquad \qquad \qquad \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\Phi_2}}=\left( \frac{\partial G_3}{\partial y}-\frac{\partial G_2}{\partial z}, \frac{\partial G_1}{\partial z}-\frac{\partial G_3}{\partial x}, \frac{\partial G_2}{\partial x}-\frac{\partial G_1}{\partial y}\right)

Maintenant, on n'a plus de mal à démontrer l'égalité.

Posté par
audreys18re : analyse vectorielle: divergence et produit scalaire 19-04-07 à 15:59

merci pour vos réponses.


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