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anneau

Posté par colleoptere8787 (invité) 02-11-04 à 19:52

bonsoir, voila j'ai un problème sur les anneaux et j'avoue que je n'y comprend pas grand chose...

(A,+,.) est un anneau (qu'on ne suppose pas commutatif) qui vérifie la propriété
(P) : quelque soit a, a appartient à A implique que a²=a.
Les éléments neutres sont notés 0 et 1, l'opposé de a est noté -a.
On rapelle que a² désigne a.a et 2a désigne a+a

1-Montrer que: quelque soit a, a appartient à A implique que 2a=0 (on calculera (a+a).(a+a))

(a+a).(a+a)=4a²=4a je ne vois pas quoi faire avec ca?

2-Montrer que l'anneau A est commutatif (on calculera (a+b)²)

(a+b)²=a²+2a.b+b²=a+2a.b+b
mais je ne vois pas ce que je dois montrer?

Posté par titimarion (invité)re : anneau 02-11-04 à 20:01

Salut
1)en fait tu as (a+a)(a+a)=4a comme tu l'as remarqué
mais (a+a)(a+a)=(a+a)²=a+a car a+a appartient a A
donc 2a=4a donc 2a=0
2)par ton calcul tu suppose deja A comm
en fait (a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+ab+ba+b²=a+b+ab+ba
d'autre part (a+b)²=a+b car a+b appartient a A
donc en mettant ensemble tu obtiens
ab+ba=0 donc ab=-ba
mais tu sais aussi que 2ab=0 car ab dans A
donc ab=-ab
ainsi ab=ba donc A commutatif

Posté par colleoptere8787 (invité)re : anneau 02-11-04 à 20:18

merci beaucoup...bonne soirée

Posté par colleoptere8787 (invité)re : anneau 02-11-04 à 20:37

je suis désolée mais j'aurai encore une question (la dernière... lol)
On définit dans A la relation < par : a < b equivaut à a.b=a
Montrer que < est une relation réflexive, antisymétrique et transitive

Posté par titimarion (invité)re : anneau 02-11-04 à 21:05

Re
Je suppose que l'on est dans le même anneau
A est réflexive si pour tout a dans A a<a
or a²=a
donc on a bien une relation réflexive
transitive a<b et b<c implique a<c
supposons ab=a et bc=b
alors ac=(ab)c car a=ab
ac=(ab)c=a(bc) on est dans un anneau
ac=ab car bc=b
ac=a car ab=a
pour l'antisymetrie attend s2 seconde

Posté par titimarion (invité)re : anneau 02-11-04 à 21:12

antisymetrie si a<b et b<a
alors ab=a et ba=b
or A est commutattif (avec un t de moins)
donc ab=ba=a=b
donc a=b
cqfd

Posté par colleoptere8787 (invité)re : anneau 02-11-04 à 21:38

merci beaucoup!!! je pensais que je n'allai réussir cet exercice...
bonne soirée



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